ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-12   
На гладкой горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный стержень длины $l = 1 м$ и массы $m_{1}$. По плоскости перпендикулярно стержню со скоростью $v = 20 м/с$ скользит шарик (материальная точка) массы $m = \frac{m_{1}}{3}$. Как и с какой скоростью будет двигаться после удара стержень, если шарик после удара останавливается? Рассмотреть два случая: 1) шарик ударяется в середину стержня; 2) точка удара отстоит от середины стержня на расстояние $x = \frac{1}{4}$. Найти долю $\eta$ энергии, которая израсходовалась на работу против сил неупругой деформации.


Решение:



Запишем закон сохранения импульса для системы, включающей шарик и стрежень:

$mv + m_{1} \cdot 0 = m \cdot 0 + m_{1}v_{1}$;
$mv = m_{1}v_{1}$;

Скорость поступательного движения стержня:

$v_{1} = \frac{m}{m_{1} }v$;

Запишем закон сохранения момента импульса:

$L_{0} = L_{1}$
$mvx = I \omega_{1}$;

где $L_{0} = mvx$ - момент импульса шарика относительно центра масс стержня

$L_{1}$ - момент импульса стержня после взаимодействия, $I$ - момент инерции стержня относительно центра масс:

$I = \frac{m_{1}l^{2} }{12}$;

Имеем: $\omega_{1} = \frac{mvx}{I} = \frac{12mvx}{m_{1}l^{2} } = \frac{3mv}{m_{1}l }$;

Запишем закон сохранения энергии для системы

$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{I \omega_{1}^{2} }{2} + A \Rightarrow A = \frac{1}{2} (mv^{2} - m_{1}v_{1}^{2} - I \omega_{1}^{2} )$;
$\eta = \frac{A}{E} = \frac{ \frac{1}{2} \left ( mv^{2} - m_{1} \frac{m^{2} }{m_{1}^{2} } v^{2} - I \omega_{1}^{2} \right ) }{ \frac{mv^{2} }{2} } = \frac{mv^{2} \left ( 1 - \frac{m}{m_[1 } \right ) - \frac{m_{1}l^{2} }{12} \frac{9m^{2}v^{2} }{m_{1}^{2}l } }{mv^{2} } = \left ( 1 - \frac{m}{m_{1} } \right ) - \frac{ \frac{3m^{2}v^{2}l }{4m_{1} } }{mv^{2} } = 1 - \frac{m}{m_{1} } - \frac{3ml}{4m_[1 }$;
$v_{1} = \frac{1}{3} 20 \approx 6,67 м/с$;
$\omega_{1} = 3 \frac{1}{3} \frac{20}{1} = 20 с^{-1}$;
$\eta = 1 - \frac{1}{3} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} 1 = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$;