Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14883
2021-02-12 
Сплошной однородный цилиндр А массы $m_{1}$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, которая укреплена на подставке В массы $m_{2}$ (рис.). На цилиндр плотно намотана легкая нить, к концу $k$ которой приложили горизонтальную силу $F$. Трения между подставкой и опорной горизонтальной плоскостью нет. Найти кинетическую энергию этой системы через $t$ секунд после начала движения.
Решение:
Ускорение точки $k$ можно представить в виде суммы:
$a_{k} = a_{цм} + a_{нити}$,
где $a_{цм}$ - ускорение центра масс системы грузов относительно горизонтальной плоскости;
$a_{нити}$ - ускорение нити относительно системы грузов. По теореме о движении центра масс:
$(m_{1} + m_{2} )a_{цм} = F \Rightarrow a_{цм} = \frac{F}{m_{1} + m_{2} }$.
Уравнение вращательного движения цилиндра:
$I \epsilon = M$,
где $I = \frac{m_{1}R^{2} }{2}$ - момент инерции цилиндра,
$R$ - радиус цилиндра;
$\epsilon = \frac{a_{нити} }{R}$ - угловое ускорение цилиндра.
$M = FR$ - момент силы $F$.
$\frac{m_{1}R^{2} }{2} \frac{a_{нити} }{R} = FR \Rightarrow a_{нити} = \frac{2F}{m_{1} }$
Ускорение точки $k$: $a_{k} = \frac{F}{m_{1} + m_{2} } + \frac{2F}{m_{1} } = F \frac{3m_{1} + 2m_{2} }{m_{1}(m_{1} + m_{2} ) }$.
Кинетическая энергия системы $E_{кин} = E_{пост} + E_{вр}$, где $E_{пост} = \frac{ (m_{1} + m_{2} )v_{цм}^{2} }{2}$ - кинетическая энергия поступательного движения системы; $E_{вр} = \frac{I \omega^{2} }{2}$ - кинетическая энергия вращательного движения цилиндра.
$v_{цм}(t) = \int a_{цм}dt = \int \frac{F}{m_{1} + m_{2} }dt = \frac{Ft}{m_{1} + m_{2} }$;
$\omega (t) = \int \epsilon dt = \int \frac{2F}{m_{1}R } dt = \frac{2Ft}{m_{1}R }$;
$E_{k} = \frac{m_{1} + m_{2} }{2} \frac{F^{2}t^{2} }{(m_{1} + m_{2} )^{2} } + \frac{m_{1}R^{2} }{2} \frac{1}{2} \frac{4F^{2}t^{2} }{m_{1}^{2}R^{2} } = F^{2}t^{2} \left ( \frac{1}{2(m_{1} + m_{2} )} + \frac{1}{m_{1} } \right ) = F^{2}t^{2} \frac{3m_{1} + 2m_{2} }{(m_{1} + m_{2} )m_{1} }$;
Сплошной однородный цилиндр А массы $m_{1}$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, которая укреплена на подставке В массы $m_{2}$ (рис.). На цилиндр плотно намотана легкая нить, к концу $k$ которой приложили горизонтальную силу $F$. Трения между подставкой и опорной горизонтальной плоскостью нет. Найти кинетическую энергию этой системы через $t$ секунд после начала движения.
Решение:
Ускорение точки $k$ можно представить в виде суммы:
$a_{k} = a_{цм} + a_{нити}$,
где $a_{цм}$ - ускорение центра масс системы грузов относительно горизонтальной плоскости;
$a_{нити}$ - ускорение нити относительно системы грузов. По теореме о движении центра масс:
$(m_{1} + m_{2} )a_{цм} = F \Rightarrow a_{цм} = \frac{F}{m_{1} + m_{2} }$.
Уравнение вращательного движения цилиндра:
$I \epsilon = M$,
где $I = \frac{m_{1}R^{2} }{2}$ - момент инерции цилиндра,
$R$ - радиус цилиндра;
$\epsilon = \frac{a_{нити} }{R}$ - угловое ускорение цилиндра.
$M = FR$ - момент силы $F$.
$\frac{m_{1}R^{2} }{2} \frac{a_{нити} }{R} = FR \Rightarrow a_{нити} = \frac{2F}{m_{1} }$
Ускорение точки $k$: $a_{k} = \frac{F}{m_{1} + m_{2} } + \frac{2F}{m_{1} } = F \frac{3m_{1} + 2m_{2} }{m_{1}(m_{1} + m_{2} ) }$.
Кинетическая энергия системы $E_{кин} = E_{пост} + E_{вр}$, где $E_{пост} = \frac{ (m_{1} + m_{2} )v_{цм}^{2} }{2}$ - кинетическая энергия поступательного движения системы; $E_{вр} = \frac{I \omega^{2} }{2}$ - кинетическая энергия вращательного движения цилиндра.
$v_{цм}(t) = \int a_{цм}dt = \int \frac{F}{m_{1} + m_{2} }dt = \frac{Ft}{m_{1} + m_{2} }$;
$\omega (t) = \int \epsilon dt = \int \frac{2F}{m_{1}R } dt = \frac{2Ft}{m_{1}R }$;
$E_{k} = \frac{m_{1} + m_{2} }{2} \frac{F^{2}t^{2} }{(m_{1} + m_{2} )^{2} } + \frac{m_{1}R^{2} }{2} \frac{1}{2} \frac{4F^{2}t^{2} }{m_{1}^{2}R^{2} } = F^{2}t^{2} \left ( \frac{1}{2(m_{1} + m_{2} )} + \frac{1}{m_{1} } \right ) = F^{2}t^{2} \frac{3m_{1} + 2m_{2} }{(m_{1} + m_{2} )m_{1} }$;
