ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-12   
На однородный сплошной цилиндр массы $M$ и радиуса $R$ плотно намотана легкая нить, концу которой прикреплен груз массой $m$ (рис.). В момент времени $t = 0$ система пришла в движение без начальной скорости. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) модуля угловой скорости цилиндра, б) кинетической энергии всей системы.



Решение:



Запишем уравнение вращательного движения для блока и 2-ой закон Ньютона для груза $m$:

$\begin{cases} TR = I \beta = \frac{MR^{2} }{2} \frac{a}{R}; \\ mg - T = ma \end{cases}$

$\beta$ - угловое ускорение блока

$T = m(g - a) = \frac{Ma}{2}$
$ma + \frac{Ma}{2} = mg \Rightarrow a = \frac{2mg}{2m + M}$
$\beta = \frac{a}{R} = \frac{2mg}{R(2m + M)} = const$
$\omega = \int \beta(t)dt = \frac{2mg}{R(2m + M)} t + C$

При $t = 0 \: \omega = 0 \Rightarrow \omega (t) = \frac{2mgt}{R(2m + m)} + 0 $

Пусть $E_{M}$ - кинетическая энергия блока, а $E_{m}$ - кинетическая энергия груза $m$:

$E_{M}(t) = \frac{I \omega^{2} }{2} = \frac{MR^{2} }{2} \frac{4m^{2}t^{2} }{2R^{2}(2m + M)^{2} } = \frac{Mm^{2}g^{2} }{(2m + M)^{2} }t^{2}$
$a(t) = \frac{2mg}{2m + M} = const$
$v(t) = \int a(t)dt = \frac{2mgt}{2m + M} + C$;

При $t =0 \: v(t) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow v(t) = \frac{2mgt}{2m + M}$
$E_{m}(t) = \frac{mv^{2} }{2} = \frac{m}{2} \frac{4m^{2}g^{2}t^{2} }{(2m + M)^{2} } = \frac{2m^{3}g^{2}t^{2} }{(2m + M)^{2} }$
$E_{кин}(t) = E_{M}(t) + E_{m}(t) = \frac{2m^{3}g^{2}t^{2} + Mm^{2}g^{2}t^{2} }{(2m + M)^{2} } = \frac{m^{2}g^{2}(2m + M)t^{2} }{(2m + M)^{2} } = \frac{m^{2}g^{2} }{2m + M }t^{2}$