ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-12   
По наклонной плоскости составляющей угол $\alpha = 30^{ \circ}$ с горизонтом, скатывается без скольжения полый цилиндр, масса которого равна $m = 0,5 кг$. Внешний радиус цилиндра в два раза больше внутреннего радиуса. Найти величину силы трения цилиндра о плоскость.


Решение:



Согласно теореме о движении центра масс твердого тела:

$\sum \vec{F} = m \vec{a}_{c}$

Или, в проекции на осью Х:

$mg \sin \alpha - F_{тр} = ma_{c}$; (1)

Закон вращательного движения цилиндра:


$\sum M = I \epsilon$
$F_{тр} R_{2} = I \frac{a_{c} }{R_{2} }$;

где $I$ - момент инерции полого цилиндра относительно оси симметрии:

$I = \frac{1}{2} m (R_{1}^{2} + R_{2}^{2} ) = \frac{m}{2} \left ( \left ( \frac{R_{2} }{2} \right )^{2} + R_{2}^{2} \right ) = \frac{5}{8} mR_{2}^{2}$;
$F_{тр}R_{2} = \frac{5}{8}mR_{2}^{2} \frac{a_{c} }{R_{2} }$
$F_{тр} = \frac{5}{8}ma_{c}$; (2)

Подставим (1) в (2):

$F_{тр} = \frac{5}{8}mg \sin \alpha - \frac{5}{8}F_{тр}$;
$\frac{13}{8}F_{тр} = \frac{5}{8} mg \sin \alpha$
$F_{тр} = \frac{5}{13} \cdot 0,5 \cdot 9,81 \cdot \frac{1}{2} \approx 0,943 Н$.