ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-12   
Схема демонстрационного прибора (диск Максвелла) изображена на рис.. На валик радиусом $r$ наглухо насажен сплошной диск радиуса $R$ и массой $M$. Валик и диск сделаны из одного материала, причем выступающие из диска части оси имеют массу $m$. К валику прикреплены нити одинаковой длины, при помощи которых прибор подвешивается к штативу. На валик симметрично наматываются нити в один ряд, благодаря чему диск поднимается, а затем предоставляют диску свободно опускаться. Найти ускорение, с которым опускается диск.



Решение:



Найдем момент инерции диска Максвелла относительно оси вращения:

$I = I_{д} + I_{в}$,

где $I_{д}$ - момент инерции диска: $I_{д} = \frac{MR^{2} }{2}$,
$I_{в}$ - момент инерции валика: $I_{в} = \frac{mr^{2} }{2}$

$I = \frac{1}{2} (MR^{2} + mr^{2} )$;

Запишем уравнение вращательного движения для диска Максвелла:

$M = I \beta$
$2Tr = \frac{1}{2} (MR^{2} + mr^{2} ) \beta$;

$\beta$ - угловое ускорение диска: $\beta = \frac{a}{r}$

Найдем выражение для силы натяжения нити $T$:

$T = \frac{a}{2r^{2} } \left ( \frac{MR^{2} }{2} + \frac{mr^{2} }{2} \right )$; (1)

По теореме движения центра тяжести

$(M + m)a = (M + m)g - 2T$; (2) (в проекции на ось Y)

Подставим (1) в (2):

$(M + m)a = (M + m)g - \frac{a}{2r^{2} } (MR^{2} + mr^{2} )$;
$a \left ( M + m + \frac{mr^{2} }{2r^{2} } + \frac{MR^{2} }{2r^{2} } \right ) = (m + M)g$;
$a = \frac{(M + m)g}{(m + M) + \frac{1}{2r^{2} } (mr^{2} + MR^{2} ) } = \frac{2(M + m)gr^{2} }{mr^{2} + MR^{2} + 2(m + M)r^{2} }$;