ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-12   
Определить момент инерции тонкого обруча массой $m$ и радиусом $R$ относительно оси, касательной к обручу и лежащей в плоскости обруча.


Решение:



Масса обруча равна $m$, его радиус - $R$, тогда масса единицы длины обруча равна $m_{0} = \frac{m}{l} = \frac{m}{2 \pi R}$

Воспользуемься теоремой Штейнера:

$I_{OO^{ \prime} } = I_{O_{1}O_{1}^{ \prime} } + mR^{2}$

(ось $O_{1}O_{1}^{ \prime}$ проходит через центр тяжести $C$)

Для нахождения $I_{O_{1}O_{1}^{ \prime} }$ разобьем обруч на бесконечно малые участки $dl$, тогда:

$dI = dm \cdot r^{2} = m_{0} dl \cdot r^{2} = m_{0}R d \phi (R \sin \phi )^{2} = \frac{mR^{3} }{2 \pi R} \sin^{2} \phi d \phi$
$I_{O_{1}O_{1}^{ \prime } } = 2 \int_{0}^{ \pi } \frac{mR^{2} }{2 \pi } \sin^{2} \phi d \phi = 2 \frac{mR^{2} }{2 \pi } \int_{0}^{ \pi } \left ( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \phi \right ) d \phi = \frac{mR^{2} }{2 \pi} \left . \left ( 1 - \frac{1}{2} \sin 2 \phi \right ) \right |_{0}^{ \pi} = \frac{mR^{2} }{2 \pi } \pi = \frac{mR^{2} }{2}$
$I_{OO^{ \prime} } = \frac{mR^{2} }{2} + mR^{2} = \frac{3mR^{2} }{2}$