ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-12   
Определить момент инерции полого шара относительно касательной. Масса шара $m$, его внешний радиус $R$, а внутренний - $r$.


Решение:



Согласно теореме Штейнера:

$I = I_{0} + ma^{2}$,

где $I_{0}$ - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела

В нашем случае: $I = I_{0} + mR^{2}$.

Найдем $I_{0}$ - момент инерции относительно оси $OO^{ \prime}$, проходящей через центр тяжести тела, находящийся в центре шара.

$I_{0} = I_{R} - I_{r}$;

Найдем плотность материала шара:

$\rho = \frac{m}{V}; V = V_{R} - V_{r} = \frac{4}{3} \pi R^{3} - \frac{4}{3} \pi r^{3}$;
$\rho = \frac{m}{ \frac{4}{3} \pi ( R^{3} - r^{3} ) }$;
$I_{0} = I_{R} - I_{r} = \frac{2}{5} \rho \frac{4}{3} \pi R^{5} - \frac{2}{5} \rho \frac{4}{3} \pi r^{5} = \frac{ \frac{2}{5} m \frac{4}{3} \pi R^{5} }{ \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3} ) } - \frac{ \frac{2}{5} m \frac{4}{3} \pi r^{5} }{ \frac{4}{3} \pi (R^{3} - r^{3} ) } = \frac{2}{5} \frac{m (R^{5} - r^{5} ) }{ R^{3} - r^{3} }$;
$I = I_{0} + mR^{2} = \frac{2}{5}m \frac{R^{5} - r^{5} }{R^{3} - r^{3} } + mR^{2}$.