2021-02-12
Тонкий однородный стержень длины $2l = 20 см$ согнут под прямым углом ($\alpha = 90^{ \circ}$) и может вращаться относительно вертикальной оси (рис.). Определить момент инерции стержня относительно оси $O_{1}O_{2}$, если масса единицы длины стержня $m_{0} = 6 кг/м$.
Решение:
Так как момент инерции $I$ - величина аддитивная, то момент инерции согнутого стержня равен сумме моментов инерции каждой из половин стержня $I_{1}$ и $I_{2}$: $I_{O_{1}O_{2} } = I_{1} + I_{2}$
В силу симметрии согнутого стержня относительно оси $O_{1}O_{2}$ моменты инерции $I_{1}$ и $I_{2}$ равны, т.е.: $I_{1} = I_{2} \Rightarrow I_{O_{1}O_{2} } = 2I_{1}$.
Рассчитаем момент инерции $I_{1}$, для этого разобьем половину стержня на участки малой длины $dr$ и массой $dm = m_{0}dr$.
Элементарный момент инерции участка равен:
$dI = dm \left ( r \sin \frac{ \alpha }{2} \right )^{2} = \left ( r \frac{ \sqrt{2} }{2} \right ) dm = \left ( \frac{r}{ \sqrt{2} } \right )^{2} dm$,
где $r$ - расстояние до участка от вершины
$\frac{r}{ \sqrt{2}}$ - расстояние до участка $dr$ от оси $O_{1}O_{2}$.
Интегрируя выражение для $dI$ по $r$ в пределах от 0 до $l$, находим $I_{1}$:
$I_{1} = \int_{0}^{l} dI(l) = \int_{0}^{l} \frac{r^{2} }{2}dm = \int_{0}^{l} \frac{r^{2} }{2} m_{0}dr = \left . \frac{m_{0}r^{3} }{6} \right |_{0}^{l} = \frac{m_{0}l^{4} }{6}$
Момент инерции всего стержня: $I_{O_{1}O_{2} } = 2I_{1} = \frac{m_{0}l^{3} }{3}$.
$I_{O_{1}O_{2} } = \frac{6 \cdot (0,1)^{3} }{3} = 2 \cdot 10^{-3} кг \cdot м^{2}$