2021-02-12
Тонкий однородный стержень длины $3l = 30 см$ согнут под прямым углом, как показано на рис. и может вращаться относительно вертикальной оси $O_{1}O_{2}$. Определить момент инерции стержня относительно оси $O_{1}O_{2}$, если масса единицы длины стержня $m_{0} = 3 кг/м$.
Решение:
Разделим горизонтальную часть стержня на бесконечно малые участки $dr$
Масса каждого такого участка равна $dm = m_{0}dr$, а момент инерции $dI_{O_{1}O_{2} } = dmr^{2} \Rightarrow I_{rl} = \int_{0}^{2l} m_{0}r^{2}dr = m_{0} \left . \frac{r^{3} }{3} \right |_{0}^{2l} = \frac{8 m_{0}l^{3} }{3}$
Для вертикального участка стержня расстояние от оси вращения постоянно и равно $r = 2l \Rightarrow I_{2} = m_{0}l (2l)^{2} = m_{0}l \cdot 4l^{2} = 4m_{0}l^{3}$
Моменты инерции - величина аддитивная $\Rightarrow I = I_{1} + I_{2}$
$I_{O_{1}O_{2} } = I_{1} + I_{2} = \frac{8m_{0}l^{3} }{3} + 4m_{0}l^{3} = \frac{20}{3}m_{0}l^{3} = \frac{20 \cdot 3}{3} 0,1^{3} = 0,02 кг \cdot м^{3}$