2021-02-12
На неподвижный блок массой $m_{1}$ намотана легкая нерастяжимая нить, к свободному концу которой подвешено тело массой $m_{2}$ (см. рис.). В момент времени $t = 0$ система пришла в движение. Найти зависимость момента импульса системы относительно оси блока от времени.
Решение:
Момент импульса системы относительно оси складывается из момента импульса блока и тела $\vec{L} = \vec{L}_{1} + \vec{L}_{2}$ или
$L_{00} = I \omega + m_{2}vR = I \omega + m_{2} \omega R^{2} = \omega (I + m_{2} R^{2})$,
где $I$ - момент инерции блока, $\omega$ - угловая скорость вращения блока $\omega = \frac{v}{R}$.
Запишем второй закон Ньютона для тела $m_{2}$: $m_{2}g - T = m_{2}a$ и основное уравнение динамики вращательного движения для блока : $TR = I \epsilon$, где $\epsilon = \frac{a}{R}$. Отсюда $I \epsilon = Rm_{2} (g - a) = m_{2}R(g - \epsilon R), \epsilon = \frac{ m_{2}gR}{I + m_{2}R^{2}}$. Угловое ускорение $\epsilon$ не зависит от времени. Это значит, что $\omega = \epsilon t$, ($\omega_{0} = 0$). Следовательно, угловая скорость равна $\omega = \frac{m_{2} gRt}{I + m_{2}R^{2}}$, а момент импульса
$L = \frac{m_{2}gRt}{I + m_{2}R^{2} } (I + m_{2}R^{2} )= m_{2}gRt$.