2021-02-12
Однородный диск радиуса $R$ раскрутили до угловой скорости $\omega_{0}$ и осторожно положили на шероховатую горизонтальную поверхность с коэффициентом трения $\mu$ (см.рис.). Сколько времени диск будет вращаться до остановки? Давление диска на поверхность считать равномерным.
Решение:
Введем поверхностную плотность массы $\sigma = \frac{m}{ \pi R^{2} }$.
Найдем момент сил трения $M$, действующих на диск.
Выделим кольцо радиуса $r$ шириной $dr$. Сила трения, действующая на кольцо, равна $dF = \mu dN = \mu gdm = \mu g \sigma 2 \pi r dr$.
Момент действующей на кольцо силы трения
$dM = dF \cdot r = \mu g \sigma 2 \pi r^{2} dr$.
Проинтегрировав выражение $dM$, получим момент сил трения, действующих на диск
$M = \int_{0}^{R} dM = \int_{0}^{R} \mu g \sigma 2 \pi r^{2} dr = \mu g \sigma 2 \pi \int_{0}^{R} r^{2}dr = \mu g \sigma 2 \pi \frac{R^{3} }{3} = \frac{2}{3} \mu g m R$.
Основное уравнение динамики вращательного движения для диска $\vec{M} = I \vec{ \epsilon }$. При торможении диска $I \frac{d \omega }{dt} = - M$, откуда $d \omega = - \frac{M}{I} dt$. Проинтегрировав полученное выражение, найдем угловую скорость $\omega = - \frac{M}{I}t + const$.
Постоянную интегрирования найдем из начальных условий. Поскольку при $t = 0$ $\omega = \omega_{0}$, зависимость угловой скорости от времени имеет вид $\omega = \omega_{0} - \frac{M}{I} t$. В момент остановки $\omega = 0$, т.е. время до остановки $t_{0} = \frac{ \omega_{0}I}{M}$.
Момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через его центр, равен $I = \frac{mR^{2}}{2}$.
Окончательно получим $t_{0} = \frac{3 \omega_{0} R}{4 \mu g}$.