2021-02-12
Два катка, связанные штангой , скатываются с наклонной плоскости, образующей угол $\alpha = 30^{ \circ}$ с горизонтом (рис.). Катки имеют одинаковые массы $m = 5 кг$ и одинаковые радиусы $r = 5 см$. Момент инерции первого катка относительно оси, проходящей через его центр $I_{1} = 80кг \cdot см^{2}$, второго - $I_{2} = 40 кг \cdot см^{2}$. Штанга невесома. Определить: 1) угловое ускорение, с которым скатываются катки без скольжения; 2) силу натяжения штанги, если каток с большим моментом инерции движется впереди.
Решение:
Запишем второй закон Ньютона для каждого катка, мысленно разрезав штангу и заменив ее действие на каждый каток силой натяжения $T$
$ma = mg \sin \alpha - T - F_{тр1}$,
$ma = mg \sin \alpha + T - F_{тр2}$.
Моменты сил трения, действующие на катки, приводят к возникновению угловых ускорений. Основное уравнение динамики вращательного движения для каждого катка имеет вид
$F_{тр1}r = I_{1} \epsilon, F_{тр2}r = I_{2} \epsilon$, откуда $F_{тр1} = \frac{I_{1} \epsilon}{r}, F_{тр2} = \frac{I_{2} \epsilon}{r}$.
Линейное и угловое ускорение катка связаны соотношением $a = \epsilon r$. Подставив выражения ускорения и сил трения в уравнения второго закона Ньютона, запишем
$m \epsilon r = mg \sin \alpha - T - \frac{I_{1} \epsilon }{r}$,
$m \epsilon r = mg \sin \alpha + T - \frac{I_{2} \epsilon }{r}$,
Сложив уравнения, получим $2m \epsilon r = 2mg \sin \alpha - (I_{1} + I_{2} ) \frac{ \epsilon}{r}$. Откуда
$\epsilon = \frac{2mgr \sin \alpha}{2mr^{2} + I_{1} + I_{2}} = 66 \frac{рад}{с^{2}}; T = \frac{ \epsilon (I_{1} - I_{2})}{2r} = 2,64 Н$.