ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-12   
Подставка массы $m_{1}$ с полуцилиндрической выемкой радиуса $R$ стоит на гладком столе (рис.). Тело массой $m_{2}$ кладут на край выемки и отпускают. Определить скорость тела и подставки, когда тело проходит нижнюю точку полусферы.



Решение:


В положении 1 система обладает только потенциальной энергией тела $m_{2}$:

$E_{пот1} = m_{2}gR$

В положении 2 полная энергия системы равна:

$E_{полн} = E_{кин1} + E_{кин2} = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2}$

По закону сохранения импульса:

$P_{1} = P_{2}$
$0 = m_{1}v_{1} - m_{2}v_{2} \Rightarrow v_{2} = \frac{m_{1}v_{1} }{m_{2} }$

По закону сохранения энергии:

$m_{2}gR = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2} = \frac{m_{1} }{2} v_{1}^{2} + \frac{m_{2}}{2} \frac{m_{1}^{2} }{m_{2}^{2} } v_{1}^{2} \Rightarrow v_{1}^{2} = \frac{m_{2}gR }{ \frac{m_{1} }{2} + \frac{m_{1}^{2} }{2m_{2} } } = \frac{2m_{2}^{2}gR }{m_{1}m_{2} + m_{1}^{2} } = \frac{2m_{2}^{2}gR }{m_{1}(m_{1} + m_{2} ) }$
$v_{1} = \sqrt{ \frac{2m_{2}^{2}gR }{m_{1}(m_{1} + m_{2} ) } } = m_{2} \sqrt{ \frac{2gR}{m_{1}(m_{1} + m_{2} ) } }$
$v_{2} = \frac{m_{1} }{m_{2} }v_{1} = m_{1} \sqrt{ \frac{2gR}{m_{1}(m_{1} + m_{2} ) } }$