ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-12   
Определить максимальную часть $\omega$ кинетической энергии, которую может передать частица массой $m_{1} = 2 \cdot 10^{-25} кг$ сталкиваясь упруго с частицей массой $m_{2} = 6 \cdot 10^{-25} кг$, которая до столкновения покоилась.


Решение:



Так как удар абсолютно упругий, то, наряду с законом сохранения импульса

$m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2}^{ \prime} + m_{1}v_{1}^{ \prime }$, (1) (проекция на ось Х)

имеет место и закон сохранения механический энергии:

$\frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} = \frac{m_{1}(v_{1}^{ \prime} )^{2} }{2} + \frac{ m_{2}(v_{2}^{ \prime} )^{2} }{2}$ (2)

где $v_{1}^{ \prime}$ и $v_{2}^{ \prime}$ - скорости тел 1 и 2 после удара. Исключим из системы (1) - (2) скорость $v_{1}^{ \prime}$ и выразим $v_{2}^{ \prime}$ через $v_{1}$:

(2) $\rightarrow m_{1}v_{1}^{2} - m_{2} (v_{2}^{ \prime} )^{2} = \frac{1}{m_{1} } (m_{1}v_{1}^{ \prime } )^{2}$;
(1) $\rightarrow m_{1}v_{1}^{ \prime } = m_{1}v_{1} - m_{2}v_{2}^{ \prime }$
$m_{1}v_{1}^{2} - m_{2} (v_{2}^{ \prime} )^{2} = \frac{1}{m_{1} } ( m_{1}^{2}v_{1}^{2} - 2m_{1}m_{2}v_{1}v_{2}^{ \prime } + m_{2}^{2} (v_{2}^{ \prime } )^{2} )$;
$-m_{2} (v_{2}^{ \prime} )^{2} = - 2m_{2} v_{1}v_{2}^{ \prime } + \frac{m_{2}^{2} }{m_{1} } (v_{2}^{ \prime} )^{2}$;
$2v_{1} = \left ( \frac{m_{2} }{m_{1} } + 1 \right ) v_{2}^{ \prime}$;
$v_{2}^{ \prime} = \frac{2m_{1}v_{1} }{m_{1} + m_{2} }$ ;

Кинетическая энергия 2-го тела после удара:

$T_{2}^{ \prime} = \frac{m_{2} (v_{2}^{ \prime} )^{2} }{2} = \frac{2m_{1}^{2}m_{2}v_{1}^{2} }{(m_{1} + m_{2} )^{2} }$;

Доля кинетической энергии, переданной телом 1:

$\omega = \frac{T_{2}^{ \prime } }{T_{1} } = \frac{ \frac{2m_{1}^{2}m_{2}v_{1}^{2} }{ (m_{1} + m_{2} )^{2} } }{ \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} } = \frac{4m_{1}m_{2} }{(m_{1} + m_{2} )^{2} }$;

Как видим, $\omega$ не зависит от скорости $v_{1}$, а только от масс $m_{1}$ и $m_{2}$:

$\omega = \frac{4 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 10^{-50}}{(2 + 6)^{2} \cdot 10^{-50}} = \frac{48}{64} = 0,75$