Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14858
2021-02-12 
Определить работу при построении правильной усеченной пирамиды высотой $h$, если нижнее и верхнее основания ее - квадраты со сторонами $a$ и $b$ соответственно. Плотность материала $\rho$.
Решение:
Разобьем пирамиду на тонкие слои толщиной $dx$. Масса слоя равна $dm = \rho dV = \rho l^{2}dx$, где $l$ - сторона квадрата, образующего слой. Зависимость $l$ от высоты слоя $x$ имеет вид:
$l(x) = a - \frac{a - b}{h}x$.
Для поднятия слоя массой $dm$ на высоту $x$ необходимо совершить работу $dA$:
$dA = dm gx$
Работу по построению пирамиды найдем, интегрируя выражение для $dA$ по $x$ в пределах от 0 до $h$:
$A = \int_{0}^{h} gx dm = \rho g \int_{0}^{h} x(l(x))^{2} dx = \rho g \int_{0}^{h} \left ( a - \frac{a - b}{h}x \right ) xdx = \rho g \int_{0}^{h} \left ( \frac{(a - b)^{2} }{h^{2} }x^{3} - \frac{2a(a - b)}{h}x^{2} + a^{2}x \right ) dx = \frac{ \rho g}{h^{2} } \left . \left [ (a - b)^{2} \frac{x^{4} }{4} - 2ah(a - b) \frac{x^{3} }{3} + a^{2}h^{2} \frac{x^{2} }{2} \right ] \right |_{0}^{h} = \frac{ \rho g}{h^{2} } \left [ (a - b)^{2} \frac{h^{4} }{4} - 2ah (a - b) \frac{h^{3} }{3} + a^{2}h^{2} \frac{h^{2} }{2} \right ] = \frac{ \rho gh^{2} }{12} (3(a - b)^{2} - 8(a - b)a + 6a^{2} ) = \frac{ \rho gh^{2} }{12} (3a^{2} - 6ab + 3b^{2} - 8a^{2} + 8ab + 6a^{2} ) = \frac{ \rho gh^{2} }{12} (a^{2} + 2ab + 3b^{2} ) = \frac{ \rho gh^[2 }{12}((a + b)^{2} + 2b^{2} )$.
Определить работу при построении правильной усеченной пирамиды высотой $h$, если нижнее и верхнее основания ее - квадраты со сторонами $a$ и $b$ соответственно. Плотность материала $\rho$.
Решение:
Разобьем пирамиду на тонкие слои толщиной $dx$. Масса слоя равна $dm = \rho dV = \rho l^{2}dx$, где $l$ - сторона квадрата, образующего слой. Зависимость $l$ от высоты слоя $x$ имеет вид:
$l(x) = a - \frac{a - b}{h}x$.
Для поднятия слоя массой $dm$ на высоту $x$ необходимо совершить работу $dA$:
$dA = dm gx$
Работу по построению пирамиды найдем, интегрируя выражение для $dA$ по $x$ в пределах от 0 до $h$:
$A = \int_{0}^{h} gx dm = \rho g \int_{0}^{h} x(l(x))^{2} dx = \rho g \int_{0}^{h} \left ( a - \frac{a - b}{h}x \right ) xdx = \rho g \int_{0}^{h} \left ( \frac{(a - b)^{2} }{h^{2} }x^{3} - \frac{2a(a - b)}{h}x^{2} + a^{2}x \right ) dx = \frac{ \rho g}{h^{2} } \left . \left [ (a - b)^{2} \frac{x^{4} }{4} - 2ah(a - b) \frac{x^{3} }{3} + a^{2}h^{2} \frac{x^{2} }{2} \right ] \right |_{0}^{h} = \frac{ \rho g}{h^{2} } \left [ (a - b)^{2} \frac{h^{4} }{4} - 2ah (a - b) \frac{h^{3} }{3} + a^{2}h^{2} \frac{h^{2} }{2} \right ] = \frac{ \rho gh^{2} }{12} (3(a - b)^{2} - 8(a - b)a + 6a^{2} ) = \frac{ \rho gh^{2} }{12} (3a^{2} - 6ab + 3b^{2} - 8a^{2} + 8ab + 6a^{2} ) = \frac{ \rho gh^{2} }{12} (a^{2} + 2ab + 3b^{2} ) = \frac{ \rho gh^[2 }{12}((a + b)^{2} + 2b^{2} )$.
