Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14857
2021-02-12 
На частицу массой $m$ действует сила $F = \alpha e^{ - \beta t}$, где $\alpha$ и $\beta$ - положительные постоянные. При $t = 0$ скорость частицы $\vec{v} = 0$. Найти работу силы за очень большой промежуток времени ($t \rightarrow \infty$).
Решение:
Найдем закон изменения скорости частицы по 2-му закону Ньютона:
$m \frac{dv}{dt} = F$
$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{m} \alpha e^{ - \beta t}$.
$v(t) = \int \frac{ \alpha }{m} e^{ - \beta t} dt = - \frac{ \alpha }{ \beta m} e^{ - \beta t} + C$
Найдем постоянную $C$:
$v(0) = 0 \Rightarrow - \frac{ \alpha }{ \beta m} e^{0} + C = 0 \Rightarrow C = \frac{ \alpha }{ \beta m}$.
$v(t) = \frac{ \alpha }{ \beta m} (1 - e^{- \beta t} )$;
Работа силы $F$ за промежуток времени $t_{1}$ равна:
$A(t_{1} ) = \int_{0}^{t_{1} } F(t) \cdot v(t) dt$
$A = \int_{0}^{ \infty } \alpha e^{ - \beta t} \frac{ \alpha }{ \beta m} (1 - e^{- \beta t} )dt = \frac{ \alpha^{2} }{ \beta m} \left [ \int_{0}^{ \infty} e^{- \beta t} dt - \int_{0}^{ \infty} e^{ - 2 \beta t} dt \right ] = \frac{ \alpha^{2} }{ \beta m} \left ( - \frac{1}{ \beta } \right ) \left . e^{- \beta t} \right |_{0}^{ \infty } - \frac{ \alpha^{2} }{ \beta m} \left ( - \frac{1}{2 \beta } \right ) \left . e^{ - 2 \beta t} \right |_{0}^{ \infty } = - \frac{ \alpha^{2} }{ \beta^{2}m } (0 - 1) + \frac{ \alpha^{2} }{ 2 \beta^{2}m } ( 0 - 1) = \frac{ \alpha^{2} }{ \beta^{2}m } - \frac{ \alpha^{2} }{2 \beta^{2}m } = \frac{ \alpha^{2} }{2 \beta^{2}m }$.
На частицу массой $m$ действует сила $F = \alpha e^{ - \beta t}$, где $\alpha$ и $\beta$ - положительные постоянные. При $t = 0$ скорость частицы $\vec{v} = 0$. Найти работу силы за очень большой промежуток времени ($t \rightarrow \infty$).
Решение:
Найдем закон изменения скорости частицы по 2-му закону Ньютона:
$m \frac{dv}{dt} = F$
$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{m} \alpha e^{ - \beta t}$.
$v(t) = \int \frac{ \alpha }{m} e^{ - \beta t} dt = - \frac{ \alpha }{ \beta m} e^{ - \beta t} + C$
Найдем постоянную $C$:
$v(0) = 0 \Rightarrow - \frac{ \alpha }{ \beta m} e^{0} + C = 0 \Rightarrow C = \frac{ \alpha }{ \beta m}$.
$v(t) = \frac{ \alpha }{ \beta m} (1 - e^{- \beta t} )$;
Работа силы $F$ за промежуток времени $t_{1}$ равна:
$A(t_{1} ) = \int_{0}^{t_{1} } F(t) \cdot v(t) dt$
$A = \int_{0}^{ \infty } \alpha e^{ - \beta t} \frac{ \alpha }{ \beta m} (1 - e^{- \beta t} )dt = \frac{ \alpha^{2} }{ \beta m} \left [ \int_{0}^{ \infty} e^{- \beta t} dt - \int_{0}^{ \infty} e^{ - 2 \beta t} dt \right ] = \frac{ \alpha^{2} }{ \beta m} \left ( - \frac{1}{ \beta } \right ) \left . e^{- \beta t} \right |_{0}^{ \infty } - \frac{ \alpha^{2} }{ \beta m} \left ( - \frac{1}{2 \beta } \right ) \left . e^{ - 2 \beta t} \right |_{0}^{ \infty } = - \frac{ \alpha^{2} }{ \beta^{2}m } (0 - 1) + \frac{ \alpha^{2} }{ 2 \beta^{2}m } ( 0 - 1) = \frac{ \alpha^{2} }{ \beta^{2}m } - \frac{ \alpha^{2} }{2 \beta^{2}m } = \frac{ \alpha^{2} }{2 \beta^{2}m }$.
