ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-02-12   
Тело массой $m = 5 кг$ брошено под углом $\alpha = 30^{ \circ }$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0} = 20 м/с$. Найти изменение импульса тела за время полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.


Решение:



Закон изменения скорости тела в проекциях на оси $x$ и $y$:

$\begin{cases} v_{x} = v_{0x} = v_{0} \cos \alpha \\ v_{y} = v_{0y} - gt = v_{0} \sin \alpha - gt \end{cases}$

Закон движения тела:

$\begin{cases} x = v_{0} \cos \alpha \cdot t \\ y = v_{0} \sin \alpha \cdot t - \frac{gt^{2} }{2} \end{cases}$

Начальный импульс тела: $\vec{P}_{0} = m \vec{v}_{0} = mv_{0x} \vec{i} + mv_{0y} \vec{j}$

$\vec{P}_{0} = mv_{0} \cos \alpha \vec{i} + mv_{0} \sin \alpha \vec{j}$

Определим момент падения $t_{1}$ из условия $y(t_{1} ) = 0$

$v_{0} \sin \alpha t_{1} - \frac{gt_{1}^{2} }{2} = 0 \Rightarrow t_{1} = \frac{2v_{0} }{g} \sin \alpha$.

Скорость тела в момент падения:

$v_{1x} = v_{0} \cos \alpha$
$v_{1y} = v_{0} \sin \alpha - gt_{1} = v_{0} \sin \alpha - g \frac{2v_{0} }{g} \sin \alpha = - v_{0} \sin \alpha$

Импульс тела в момент $t_{1}$:

$\vec{P}_{1} = mv_{1x} \vec{i} + mv_{1y} \vec{j} = mv_{0} \cos \alpha \cdot \vec{i} - mv_{0} \sin \alpha \cdot \vec{j}$

Изменение импульса:

$\Delta \vec{P} = \vec{P}_{1} - \vec{P}_{0} = (mv_{0} \cos \alpha - mv_{0} \cos \alpha ) \vec{i} + (-mv_{0} \sin \alpha - mv_{0} \sin \alpha ) \vec{j}$
$\Delta \vec{P} = - 2mv_{0} \sin \alpha \cdot \vec{j}$
$\Delta P = | \Delta \vec{P} | = 2mv_{0} \sin \alpha$.
$\Delta P = 2 \cdot 5 \cdot 20 \cdot \frac{1}{2} = 100 \frac{кг \cdot м}{с}$.