Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14851
2021-02-12 
На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие одинаковые шайбы массой $m$. Шайбы соединены легкой недеформированной пружиной, длина которой $l_{0}$ и жесткость $\chi$. В некоторый момент одной из шайб сообщают скорость $v_{0}$ в горизонтальном направлении перпендикулярно к пружине. Найти максимальное относительное удлинение пружины ($\frac{ \Delta l}{l} \ll 1$), если трение отсутствует.
Решение:
Воспользуемся законом сохранения импульса $mv_{0} = 2mv_{c}$, где $v_{c}$ - скорость движения центра масс. Отсюда $v_{c} = \frac{v_{0} }{2}$.
Последующее движение можно представить как совокупность двух движений: равномерное поступательное движение центра инерции со скоростью $v_{c} = \frac{v_{0} }{2}$ и движение шайб относительно центра масс со скоростью $v_{отн}$, представляющее собой наложение вращения вокруг центра инерции со скоростью $v_{1}$ и колебания со скоростью $v_{2}$.
Запишем законы сохранения энергии и момента импульса, приравнивая составляющие величины в начальный момент времени и момент, когда растяжение пружины максимально (т.е. $v_{2} = 0$) и $v_{отн}$ перпендикулярна линии, соединяющей шайбы ($v_{отн} = v_{1}$). Обозначим через $x$ максимальное удлинение пружины, т.е. $l_{1} = l_{0} + x$; относительное удлинение пружины $\alpha = \frac{x}{l_{0}}$. Закон сохранения момента импульса в системе центра инерции:
$mv_{0} \frac{l_{0} }{2} = 2mv_{1} \frac{l_{1} }{2} = mv_{1}l_{0} (1 + \alpha )$. Отсюда $\alpha = \frac{v_{0} }{2v_{1} } - 1$.
Запишем закон сохранения энергии в системе центра масс
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{ \chi x^{2} }{2} + 2 \frac{mv_{1}^{2}}{2}$, откуда выразим $v_{1} = \frac{v_{0} }{2} \sqrt{ 1 - \frac{2 \chi l_{0}^{2} \alpha^{2} }{mv_{0}^{2} } }$.
Подставим найденное $v_{1}$ в выражение для $\alpha$, получим
$\alpha = \left ( 1 - \frac{2 \chi l_{0}^{2} \alpha^{2} }{mv_{0}^{2} } \right )^{-0,5} - 1$.
Так как $\alpha \ll 1$, то воспользовавшись формулой $(1 + x)^{b} \approx 1 + nx(x \ll 1)$, получим $\alpha = 1 - \frac{ \chi l_{0}^{2} \alpha^{2} }{mv_{0}^{2} } - 1 = \frac{ \chi l_{0}^{2} \alpha^{2} }{mv_{0}^{2} }$.
Тогда $\alpha = \frac{mv_{0}^{2} }{ \chi l_{0}^{2} }$.
На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие одинаковые шайбы массой $m$. Шайбы соединены легкой недеформированной пружиной, длина которой $l_{0}$ и жесткость $\chi$. В некоторый момент одной из шайб сообщают скорость $v_{0}$ в горизонтальном направлении перпендикулярно к пружине. Найти максимальное относительное удлинение пружины ($\frac{ \Delta l}{l} \ll 1$), если трение отсутствует.
Решение:
Воспользуемся законом сохранения импульса $mv_{0} = 2mv_{c}$, где $v_{c}$ - скорость движения центра масс. Отсюда $v_{c} = \frac{v_{0} }{2}$.
Последующее движение можно представить как совокупность двух движений: равномерное поступательное движение центра инерции со скоростью $v_{c} = \frac{v_{0} }{2}$ и движение шайб относительно центра масс со скоростью $v_{отн}$, представляющее собой наложение вращения вокруг центра инерции со скоростью $v_{1}$ и колебания со скоростью $v_{2}$.
Запишем законы сохранения энергии и момента импульса, приравнивая составляющие величины в начальный момент времени и момент, когда растяжение пружины максимально (т.е. $v_{2} = 0$) и $v_{отн}$ перпендикулярна линии, соединяющей шайбы ($v_{отн} = v_{1}$). Обозначим через $x$ максимальное удлинение пружины, т.е. $l_{1} = l_{0} + x$; относительное удлинение пружины $\alpha = \frac{x}{l_{0}}$. Закон сохранения момента импульса в системе центра инерции:
$mv_{0} \frac{l_{0} }{2} = 2mv_{1} \frac{l_{1} }{2} = mv_{1}l_{0} (1 + \alpha )$. Отсюда $\alpha = \frac{v_{0} }{2v_{1} } - 1$.
Запишем закон сохранения энергии в системе центра масс
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{ \chi x^{2} }{2} + 2 \frac{mv_{1}^{2}}{2}$, откуда выразим $v_{1} = \frac{v_{0} }{2} \sqrt{ 1 - \frac{2 \chi l_{0}^{2} \alpha^{2} }{mv_{0}^{2} } }$.
Подставим найденное $v_{1}$ в выражение для $\alpha$, получим
$\alpha = \left ( 1 - \frac{2 \chi l_{0}^{2} \alpha^{2} }{mv_{0}^{2} } \right )^{-0,5} - 1$.
Так как $\alpha \ll 1$, то воспользовавшись формулой $(1 + x)^{b} \approx 1 + nx(x \ll 1)$, получим $\alpha = 1 - \frac{ \chi l_{0}^{2} \alpha^{2} }{mv_{0}^{2} } - 1 = \frac{ \chi l_{0}^{2} \alpha^{2} }{mv_{0}^{2} }$.
Тогда $\alpha = \frac{mv_{0}^{2} }{ \chi l_{0}^{2} }$.
