Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14846
2021-01-30 
Скорость тела массой $m$ в вязкой жидкости убывает с пройденным расстоянием $l$ по закону $v = v_{0} - \beta l$, где $v_{0}$ - начальная скорость, а $\beta$ - положительная постоянная. Определить путь, пройденный телом за первую секунду его движения в вязкой жидкости, если в начальный момент времени начальная скорость тела равна $v_{0}$.
Решение:
С учетом того, что $v = \frac{dl}{dt}$, запишем выражение для скорости тела в виде:
$\frac{dl}{dt} = v_{0} - \beta l$. (1)
(1) - дифферециальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем
$\frac{dl}{v_{0} - \beta l } = dt$
$- \frac{1}{ \beta } ln |v_{0} - \beta l | = t + C$
$v_{0} - \beta l = e^{ - \beta (t + C) } = e^{ - \beta C} \cdot e^{ - \beta t} = C_{1} e^{ - \beta t}$
Найдем постоянную $C_{1}$ из начальных условий: при $t = 0; v = v_{0}; l = 0$
$v_{0} - \beta \cdot 0 = C_{1} e^{0}; C_{1} = v_{0}$
$v_{0} - \beta l = v_{0}e^{ - \beta t}$
$l = \frac{1}{ \beta } (v_{0} - v_{0} e^{ - \beta t} ) = \frac{v_{0} }{ \beta } (1 - e^{ - \beta t} )$
В момент времени $t_{1} = 1 с$:
$l(t_{1} ) = \frac{v_{0} }{ \beta } ( 1 - e^{ - \beta t_{1} } ) = \frac{v_{0} }{ \beta } (1 - e^{ - \beta } )$.
Ответ: За первую секунду движения тело пройдет путь равный $l_{1} = \frac{v_{0} }{ \beta } (1 - e^{ - \beta } )$
Скорость тела массой $m$ в вязкой жидкости убывает с пройденным расстоянием $l$ по закону $v = v_{0} - \beta l$, где $v_{0}$ - начальная скорость, а $\beta$ - положительная постоянная. Определить путь, пройденный телом за первую секунду его движения в вязкой жидкости, если в начальный момент времени начальная скорость тела равна $v_{0}$.
Решение:
С учетом того, что $v = \frac{dl}{dt}$, запишем выражение для скорости тела в виде:
$\frac{dl}{dt} = v_{0} - \beta l$. (1)
(1) - дифферециальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем
$\frac{dl}{v_{0} - \beta l } = dt$
$- \frac{1}{ \beta } ln |v_{0} - \beta l | = t + C$
$v_{0} - \beta l = e^{ - \beta (t + C) } = e^{ - \beta C} \cdot e^{ - \beta t} = C_{1} e^{ - \beta t}$
Найдем постоянную $C_{1}$ из начальных условий: при $t = 0; v = v_{0}; l = 0$
$v_{0} - \beta \cdot 0 = C_{1} e^{0}; C_{1} = v_{0}$
$v_{0} - \beta l = v_{0}e^{ - \beta t}$
$l = \frac{1}{ \beta } (v_{0} - v_{0} e^{ - \beta t} ) = \frac{v_{0} }{ \beta } (1 - e^{ - \beta t} )$
В момент времени $t_{1} = 1 с$:
$l(t_{1} ) = \frac{v_{0} }{ \beta } ( 1 - e^{ - \beta t_{1} } ) = \frac{v_{0} }{ \beta } (1 - e^{ - \beta } )$.
Ответ: За первую секунду движения тело пройдет путь равный $l_{1} = \frac{v_{0} }{ \beta } (1 - e^{ - \beta } )$
