ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-01-30   
Материальная точка массой $m = 2 кг$ движется под действием силы $\vec{F} = - \frac{ \alpha }{v} \vec{i}$, где $\alpha = 1 \frac{Н \cdot м}{с}$, $v$ - модуль скорости точки. В какой момент времени скорость точки уменьшится вдвое, если ее начальная скорость $v_{0} = 2 м/с$?


Решение:


Запишем 2-й закон Ньютона для движения материальной точки в проекции на ось $X$:

$F = m \frac{dv}{dt}$;
$- \frac{ \alpha }{v} = m \frac{dv}{dt}$. (1)

(1) - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, получаем:

$vdv = - \frac{ \alpha }{m} dt$
$\frac{v^{2} }{2} = - \frac{ \alpha }{m} t + C$

Найдем постоянную $C$ из начальных условий:

При $t= 0 \: v = v_{0}$: $\frac{v_{0}^{2} }{2} = 0 + C \Rightarrow C = \frac{v^{2} }{2}$

$\frac{v^{2} }{2} = - \frac{ \alpha }{m} t + \frac{v_{0}^{2} }{2}$
$v(t) = \sqrt{ v_{0}^{2} - \frac{2 \alpha t}{m} }$.

По условию задачи $v(t_{1} ) = \frac{v_{0} }{2}$. Найдем $t_{1}$:

$\frac{v_{0} }{2} = \sqrt{ v_{0}^{2} - \frac{2 \alpha t_{1} }{m} }; \frac{2 \alpha t_{1} }{m} = v_{0}^{2} - \frac{v_{0}^{2} }{4} = \frac{3}{4}v_{0}^{2}$
$t_{1} = \frac{m}{2 \alpha} \frac{3v_{0}^{2} }{4} = \frac{3mv_{0}^{2} }{8 \alpha }$.
$t_{1} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 4}{8 \cdot 1} = 3 с$.