ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-01-30   
Снаряд массой $m$ вылетает из ствола со скоростью $v_{0}$ под углом $\alpha$ к горизонту. Считая, что сила сопротивления воздуха меняется по закону $\vec{F}_{c} = - k \vec{v}$, определить время подъема снаряда на максимальную высоту. Коэффициент пропорциональности к таков, что при скорости $v = v_{0} \: F_{c} = mg$.


Решение:



$m \vec{a} = - k \vec{v} + m \vec{g}$

$OX, OY$:

$\begin{cases} ma_{x} = - kv_{x}, (1) \\ ma_{y} = - kv_{y} - mg, (2) \end{cases}$

$(2) = \frac{dv_{y} }{dt} = - \frac{k}{m}v_{y} - g$
$\frac{dv_{y} }{ - \frac{k}{m} v_{y} - g } = dt$
$\frac{d \left ( \frac{k}{m} v_{y} + g \right ) }{ \frac{k}{m} v_{y} + g } = - \frac{k}{m} dt$
$ln \left ( \frac{k}{m} v_{y} + g \right ) = - \frac{k}{m}t + C$
$t = 0 \Rightarrow v_{y} = v_{0y} = v_{0} \sin \alpha$
$ln \left ( \frac{k}{m} v_{0y} + g \right ) = - \frac{k}{m} \cdot 0 + C \Rightarrow c = ln \left ( \frac{k}{m} v_{0y} + g \right )$
$ln \frac{ \frac{k}{m} v_{y} + g }{ \frac{k}{m} v_{0y} + g } = - \frac{k}{m}t; \frac{k}{m} v_{y} + g = \left ( \frac{k}{m} v_{0y} + g \right ) e^{ - \frac{k}{m}t }$
$v = v_{0} \Rightarrow |F_{c} | = kv_{0} = mg \Rightarrow k = \frac{mg}{v_{0} }$;
$v_{y} = \left (v_{0y} + \frac{mg}{k} \right ) e^{ - \frac{kt}{m} } - \frac{mg}{k} = (v_{0} \sin \alpha + v_{0} )e^{ - \frac{gt}{v_{0} } } - v_{0}$

На максимальной высоте $v_{0}(t_{1} ) = 0$

$e^{ - \frac{gt_{1} }{v_{0} } } = \frac{1}{1 + \sin \alpha }; \frac{gt_{1} }{v_{0} } = ln (1 + \sin \alpha ); t_{1} = \frac{v_{0} }{g} ln (1 + \sin \alpha )$