ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-01-30   
Найти ускорение тела, движущегося вертикально вверх с начальной скоростью $v_{0}$, если сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости тела ($\vec{F}_{c} = - kv_{y} \vec{j}$, где $k = \frac{mg}{v_{0}}$ - положительная постоянная).


Решение:


На тело действует сила тяжести и сила сопротивление воздуха. Получим следующее уравнение движение тела в проекции на вертикальную ось

$ma = mg + F_{c}$
$ma = mg + \frac{mg}{v_{0} }v$

Сокращая массу тела получим

$v^{ \prime} = g + \frac{g}{v_{0} } v$
$\frac{dv}{dt} = g + \frac{g}{v_{0} }v$

Решая дифференциальное уравнение, получим

$\frac{ \frac{dv}{dt}}{1 + \frac{1}{v_{0} }v } = g$
$\int \frac{ v_{0} \frac{d \left ( 1 + \frac{v}{v_{0} } \right ) }{dt} }{1 + \frac{1}{v_{0} }v } = \int g$
$v_{0} ln \left ( 1 + \frac{v}{v_{0} } \right ) = gt + C_{1}$
$v = C e^{ - \frac{g}{v_{0} }t } - v_{0}$

Из условия $v(0) = v_{0}$ получим $v = 2v_{0} e^{ - \frac{g}{v_{0} } t }$

Ускорение является первой производной по времени от скорости

$a = v^{ \prime} = 2v_{0} \left ( - \frac{g}{v_{0} } \right ) e^{ - \frac{g}{v_{0} } t } = -2g e^{ - \frac{g}{v_{0} } t }$