ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-01-30   
На материальную точку массой $m$ действует сила $\vec{F}_{c} = m \omega^{2} R \sin ( \omega t) \vec{i} + m \omega^{2}R \cos ( \omega t) \vec{j}$. Определить путь, пройденный материальной точкой за время отсчитываемое от начала действия силы, если при $t = 0 \: \vec{v} = 0$.


Решение:


Найдем ускорение материальной точки

$\vec{a} = \frac{ \vec{F} }{m} = \omega^{2}R \sin ( \omega t) \vec{i} + \omega^{2} R \cos ( \omega t) \vec{j}$

Интегрируя выражение для $\vec{a}(t)$ найдем закон изменения скорости:

$\vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) dt = - \omega R \cos ( \omega t) \vec{i} + \omega R \sin ( \omega t) \vec{j} + C_{1} \vec{i} + C_{2} \vec{j}$;

Найдем постоянные интегрирования $C_{1}$ и $C_{2}$ из условия, что при $t=0 \: \vec{v} = 0$:

$\vec{v}(0) = - ( \omega R \cos 0 ) \vec{i} + \omega R \sin 0 \cdot \vec{j} + C_{2} \vec{i} + C_{2} \vec{j}$
$- \omega R \vec{i} + C_{1} \vec{i} + C_{2} \vec{j} = 0 \Rightarrow C_{1} = \omega R; C_{2} = 0$
$\vec{v}(t) = \omega R(1 - \cos ( \omega t) ) \vec{i} + \omega R \sin ( \omega t ) \vec{j}$;

Найдем закон изменения модуля скорости:

$| \vec{v}(t) | = v(t) = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} } = \omega R \sqrt{(1 - \cos ( \omega t) )^{2} + \sin^{2} \omega t } = \omega R \sqrt{1 + \cos^{2} \omega t + \sin^{2} \omega t - 2 \cos \omega t } = \sqrt{2} \omega R \sqrt{1 - \cos \omega t } = \sqrt{2} \omega R \sqrt{2 \sin^{2} \frac{ \omega t}{2} } = 2 \omega R \left | \sin \frac{ \omega t}{2} \right |$;

Таким образом, находим выражение для пути, пройденного точкой: $S(t) = \int_{0}^{t} vdt = 2 \omega R \int_{0}^{t} \left | \sin \frac{ \omega t}{2} \right | dt$;

Вычислим интеграл $\int_{0}^{t} \left | \sin \frac{ \omega t }{2} \right | dt$:

$\left | \sin \frac{ \omega t}{2} \right | = \begin{cases} \sin \frac{ \omega t}{2} \: при \: t \in \left ( \frac{2 \pi }{ \omega }2n; \frac{2 \pi }{ \omega } (2n + 1) \right ) \\ - \sin \frac{ \omega t}{2} \: при \: t \in \left ( \frac{2 \pi }{ \omega }(2n + 1); \frac{2 \pi }{ \omega } (2n + 2) \right ) \end{cases}; n = 0,1,2, \cdots$


Пусть $t = nT + \tau$, где $T$ - период функции $\left | \sin \frac{ \omega t}{2} \right |$

$T = \frac{2 \pi }{ \omega }$,

$n$ - число периодов, прошедшее с момента времени $t = 0, \tau < T$.

Получаем: $\int_{0}^{t} \left | \sin \frac{ \omega t}{2} \right | dt = \int_{0}^{nT + \tau } \left | \sin \frac{ \omega t}{2} \right | dt = n \int_{0}^{T} \sin \frac{ \omega t}{2} dt + \int_{0}^{ \tau } \sin \frac{ \omega t}{2} dt = n \frac{2}{ \omega } \left . \left ( - \cos \frac{ \omega t}{2} \right ) \right |_{0}^{ \frac{2 \pi }{ \omega } } + \frac{2}{ \omega } \left . \left ( - \cos \frac{ \omega t}{2} \right ) \right |_{0}^{ \tau } = \frac{2n}{ \omega } (1 - \cos \pi ) + \frac{2}{ \omega } \left ( 1 - \cos \frac{ \omega \tau }{2} \right ) = \frac{4n}{ \omega } + \frac{2}{ \omega } \left ( 1 - \cos \frac{ \omega \tau }{2} \right )$;

Теперь выражение для пути $S(t)$ приобретает вид:

$S(t) = 2 \omega R \left [ \frac{4n}{ \omega } + \frac{2}{ \omega } \left ( 1- \cos \frac{ \omega \tau }{2} \right ) \right ] = 4R \left [ 2n + 1 - \cos \frac{ \omega \tau }{2} \right ]$;