ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-01-30   
К бруску массой $m$, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу $F = \frac{mg}{3}$. В процессе его прямолинейного движения угол $\alpha$ между направлением этой силы и горизонтом меняют по закону $\alpha = ks$, где $k$ - постоянная, $s$ - пройденный бруском путь (из начального положения). Найти скорость бруска как функцию угла $\alpha$.


Решение:



Пусть груз имеет ускорение $\vec{a}$ тогда 2-й закон Ньютона для груза в проекциях на оси $X$ и $Y$ имеет вид:

$\begin{cases} F \sin \alpha + N - mg = 0 \\ F \cos \alpha = ma \end{cases}$
$a = \frac{F \cos \alpha }{m} = \frac{g \cos \alpha }{3}$
$x^{ \prime \prime } = \frac{g \cos (k \cdot x) }{3}$
$x^{ \prime} = v \Rightarrow x^{ \prime \prime } = \frac{dv}{dx} v$
$\frac{dv}{dx} = \frac{g \cos (k \cdot x) }{3v}$;

Разделяя переменные, имеем:

$vdv = \frac{g}{3} \cos (k \cdot x) dx$

Интегрируя обе части уравнения, имеем:

$\frac{v^{2} }{2} = \frac{g}{3} \frac{1}{k} \sin ( k \cdot x) + C$

При $\alpha = ky = 0 \: v_{0} = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow v^{2} = \frac{2g}{3k} \sin (k \cdot x) + )$

$v = \sqrt{ \frac{2g}{3k} \sin (k \cdot x) } = \sqrt{ \frac{2g \sin \alpha }{3k }}$