Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14837
2021-01-30 
Небольшое тело $m$ начинает скользить по наклонной плоскости из точки, расположенной над вертикальным упором А (рис.). Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен $f = 0,14$. При каком значении угла $\alpha$ время соскальзывания будет наименьшим?
Решение:
Запишем 2-й закон Ньютона для тела $m$ в проекциях на оси $X$ и $Y$:
$\begin{cases} N - mg \cos \alpha = 0 \\ mg \sin \alpha - F_{тр} = ma \end{cases}$
$N = mg \cos \alpha$
$mg \sin \alpha - f mg \cos \alpha = ma$
$a = ( \sin \alpha - f \cos \alpha )g$;
Пусть $S$ - путь, пройденный телом при соскальзывании: $S = AB = \frac{l_{0} }{ \cos \alpha } = \frac{at^{2} }{2}$
$t = \sqrt{ \frac{2S}{a} } = \sqrt{ \frac{2l_{0} }{ \sin \alpha \cos \alpha g - f \cos^{2} \alpha + g } }$
Для нахождения $\alpha_{min}$ продифференцируем функцию $t( \alpha )$ и приравняем производную нулю:
$t^{ \prime }( \alpha ) = \sqrt{ \frac{2l_{0} }{g} } \left ( - \frac{1}{2 \sqrt{ \sin \alpha \cos \alpha - f \cos^{2} \alpha } } \right ) ( \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha -f \cdot 2 \cos \alpha ( - \sin \alpha ) )$
$t^{ \prime} ( \alpha ) = 0 \Rightarrow \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha + 2 f \sin \alpha \cos \alpha = 0$
$\cos 2 \alpha + f \sin 2 \alpha = 0$
$f = - ctg \alpha$
$tg \alpha = - \frac{1}{f}$
$\alpha_{min} = arctg \left ( - \frac{1}{f} \right ) = arctg \left ( - \frac{1}{0,14} \right ) \approx 49^{ \circ}$
Небольшое тело $m$ начинает скользить по наклонной плоскости из точки, расположенной над вертикальным упором А (рис.). Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен $f = 0,14$. При каком значении угла $\alpha$ время соскальзывания будет наименьшим?
Решение:
Запишем 2-й закон Ньютона для тела $m$ в проекциях на оси $X$ и $Y$:
$\begin{cases} N - mg \cos \alpha = 0 \\ mg \sin \alpha - F_{тр} = ma \end{cases}$
$N = mg \cos \alpha$
$mg \sin \alpha - f mg \cos \alpha = ma$
$a = ( \sin \alpha - f \cos \alpha )g$;
Пусть $S$ - путь, пройденный телом при соскальзывании: $S = AB = \frac{l_{0} }{ \cos \alpha } = \frac{at^{2} }{2}$
$t = \sqrt{ \frac{2S}{a} } = \sqrt{ \frac{2l_{0} }{ \sin \alpha \cos \alpha g - f \cos^{2} \alpha + g } }$
Для нахождения $\alpha_{min}$ продифференцируем функцию $t( \alpha )$ и приравняем производную нулю:
$t^{ \prime }( \alpha ) = \sqrt{ \frac{2l_{0} }{g} } \left ( - \frac{1}{2 \sqrt{ \sin \alpha \cos \alpha - f \cos^{2} \alpha } } \right ) ( \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha -f \cdot 2 \cos \alpha ( - \sin \alpha ) )$
$t^{ \prime} ( \alpha ) = 0 \Rightarrow \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha + 2 f \sin \alpha \cos \alpha = 0$
$\cos 2 \alpha + f \sin 2 \alpha = 0$
$f = - ctg \alpha$
$tg \alpha = - \frac{1}{f}$
$\alpha_{min} = arctg \left ( - \frac{1}{f} \right ) = arctg \left ( - \frac{1}{0,14} \right ) \approx 49^{ \circ}$
