Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14831
2021-01-30 
Как будет изменяться скорость тела массой $m$, движущегося вверх с начальной скоростью $v_{0}$, если можно считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости тела $F_{c} = - rv$? Считать коэффициент $r$ известным.
Решение:
Целью задачи является нахождение скорости тела как функции времени. Рассмотрим движение тела в момент времени $t$ (скорость $v$, сила тяжести $mg$, действующая на него, сила сопротивления $F_{c} = - rv$). Тогда основное уравнение динамики поступательного движения (второй закон Ньютона) в проекции на ось $y$ имеет вид
$mg + rv = - m \frac{dv}{dt}, r \left ( \frac{mg}{r} + v \right ) = - m \frac{dv}{dt}$, разделяя переменые,
$\frac{r}{m}dt = - \frac{dv}{ \frac{mg}{r} + v } = - \frac{d \left ( \frac{mg}{r} + v \right ) }{ \frac{mg}{r} + v }$, и интегрируя, получим
$\frac{r}{m}t = - \left [ ln \left ( \frac{mg}{r} + v \right ) - ln \left ( \frac{mg}{r} + v_{0} \right ) \right ] = - ln \left ( \frac{ \frac{mg}{r} + v }{ \frac{mg}{r} + v_{0} } \right )$,
$- \frac{r}{m} t = ln \left ( \frac{ \frac{mg}{r} + v }{ \frac{mg}{r} + v_{0} } \right ), \frac{ \frac{mg}{r} + v }{ \frac{mg}{r} + v_{0} } = e^{ - \frac{r}{m}t}$,
$\frac{mg}{r} + v = \left ( \frac{mg}{r} + v_{0} \right )e^{ - \frac{r}{m}t }$.
Откуда окончательно находим зависимость скорости от времени
$v = \left ( \frac{mg}{r} + v_{0} \right )e^{ - \frac{r}{m}t } - \frac{mg}{r} = \frac{mg}{r} e^{ - \frac{r}{m}t } - \frac{mg}{r} + v_{0}e^{ - \frac{r}{m}t } = v_{0}e^{ - \frac{r}{m}t } + \frac{mg}{r} \left ( e^{ - \frac{r}{m}t } - 1 \right ) = \frac{mg}{r} \left [ \frac{rv_{0} }{mg} e^{ - \frac{r}{m} t } + e^{ - \frac{r}{m} t } - 1 \right ] = \frac{mg}{r} \left [ \left ( \frac{rv_{0} }{mg} + 1 \right ) e^{ - \frac{r}{m} t } - 1 \right ]$.
При $t = 0 \: v = v_{0}$. Это и есть искомая формула.
Как будет изменяться скорость тела массой $m$, движущегося вверх с начальной скоростью $v_{0}$, если можно считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости тела $F_{c} = - rv$? Считать коэффициент $r$ известным.
Решение:
Целью задачи является нахождение скорости тела как функции времени. Рассмотрим движение тела в момент времени $t$ (скорость $v$, сила тяжести $mg$, действующая на него, сила сопротивления $F_{c} = - rv$). Тогда основное уравнение динамики поступательного движения (второй закон Ньютона) в проекции на ось $y$ имеет вид
$mg + rv = - m \frac{dv}{dt}, r \left ( \frac{mg}{r} + v \right ) = - m \frac{dv}{dt}$, разделяя переменые,
$\frac{r}{m}dt = - \frac{dv}{ \frac{mg}{r} + v } = - \frac{d \left ( \frac{mg}{r} + v \right ) }{ \frac{mg}{r} + v }$, и интегрируя, получим
$\frac{r}{m}t = - \left [ ln \left ( \frac{mg}{r} + v \right ) - ln \left ( \frac{mg}{r} + v_{0} \right ) \right ] = - ln \left ( \frac{ \frac{mg}{r} + v }{ \frac{mg}{r} + v_{0} } \right )$,
$- \frac{r}{m} t = ln \left ( \frac{ \frac{mg}{r} + v }{ \frac{mg}{r} + v_{0} } \right ), \frac{ \frac{mg}{r} + v }{ \frac{mg}{r} + v_{0} } = e^{ - \frac{r}{m}t}$,
$\frac{mg}{r} + v = \left ( \frac{mg}{r} + v_{0} \right )e^{ - \frac{r}{m}t }$.
Откуда окончательно находим зависимость скорости от времени
$v = \left ( \frac{mg}{r} + v_{0} \right )e^{ - \frac{r}{m}t } - \frac{mg}{r} = \frac{mg}{r} e^{ - \frac{r}{m}t } - \frac{mg}{r} + v_{0}e^{ - \frac{r}{m}t } = v_{0}e^{ - \frac{r}{m}t } + \frac{mg}{r} \left ( e^{ - \frac{r}{m}t } - 1 \right ) = \frac{mg}{r} \left [ \frac{rv_{0} }{mg} e^{ - \frac{r}{m} t } + e^{ - \frac{r}{m} t } - 1 \right ] = \frac{mg}{r} \left [ \left ( \frac{rv_{0} }{mg} + 1 \right ) e^{ - \frac{r}{m} t } - 1 \right ]$.
При $t = 0 \: v = v_{0}$. Это и есть искомая формула.
