Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14828
2021-01-30 
В механической системе, показанной на рис., массы тел равны $m_{1}, m_{2}, m_{3}$, угол $\alpha$ известен, трения нет, массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти ускорение тела $m_{3}$ относительно тела $m_{2}$.
Решение:
Запишем второй закон Ньютона для тел $m_{1}$ и $m_{2}$ сначала в векторном виде
$m_{1} \vec{a} = m_{1} \vec{g} + \vec{T}$,
$m_{2} \vec{a} = m_{2} \vec{g} + \vec{Q} + \vec{T} + \vec{N}$,
а затем в проекциях на координатные оси
$\begin{cases} m_{1}a = m_{1}g - T \\ m_{2}a = T + N \sin \alpha \\ 0 = m_{2}g - Q. \end{cases}$
Последнее уравнение в данной задаче не используется, т.к. оно служит для определения нормальной реакции $Q$ опоры и, соответственно, силы трения между телом $m_{2}$ и поверхностью опоры, но по условию трения нет.
Для тела $m_{3}$: $m_{3} ( \vec{a}^{ \prime } + \vec{a}) = m_{3}g + \vec{N}$
$\begin{cases} m_{3} (a^{ \prime } - a \cos \alpha ) = m_{3}g \sin \alpha \\ - m_{3} a \sin \alpha = - m_{3}g \cos \alpha + N. \end{cases} $
При составлении векторного уравнения движения для тела $m_{3}$ учитывалось, что оно участвует одновременно в двух независимых движениях: относительно тела $m_{2}$ с ускорением $\vec{a}^{ \prime }$ ( система отсчета $x^{ \prime}, y^{ \prime}$) и вместе с телом $m_{2}$ с ускорением $\vec{a}$ ( система отсчета $x, y$). Результирующее движение в неподвижной системе отсчета $x, y$ будет происходить с ускорением $\vec{a}_{3} = \vec{a}^{ \prime} + \vec{a}$.
Рассмотрим совместно уравнения
$\begin{cases} m_{1}a = m_{1}g - T \\ m_{2}a = T + N \sin \alpha \\ m_{3} (a^{ \prime} - a \cos \alpha ) = m_{3}g \sin \alpha \\ -m_{3}a \sin \alpha = - m_{3}g \cos \alpha + N. \end{cases}$
Эта система содержит четыре неизвестных: $T, N, a^{ \prime}, a$. Сложив первые два уравнения системы, исключим $T$:
$(m_{1} + m_{2} )a = m_{1}g + N \sin \alpha$.
Из последнего уравнения найдем $N$ и подставим найденное значение $N = m_{3}(g \cos \alpha - a \sin \alpha )$ в предыдущее уравнение, откуда получим $(m_{1} + m_{2} )a = m_{1}g + m_{3} (g \cos \alpha - a \sin \alpha ) \sin \alpha$.
Решая его относительно $a$, получаем: $a = \frac{m_{1} + m_{3} \cos \alpha \sin \alpha }{m_{1} + m_{2} + m_{3} \sin^{2} \alpha }$.
Теперь, подставляя найденное значение $a$, находим искомое ускорение $a^{ \prime } = \frac{m_{1}(1 + ctg \alpha ) + m_{2} + m_{3} }{ m_{1} + m_{2} + m_{3} \sin^{2} \alpha } g \sin \alpha$.
В механической системе, показанной на рис., массы тел равны $m_{1}, m_{2}, m_{3}$, угол $\alpha$ известен, трения нет, массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти ускорение тела $m_{3}$ относительно тела $m_{2}$.
Решение:
Запишем второй закон Ньютона для тел $m_{1}$ и $m_{2}$ сначала в векторном виде
$m_{1} \vec{a} = m_{1} \vec{g} + \vec{T}$,
$m_{2} \vec{a} = m_{2} \vec{g} + \vec{Q} + \vec{T} + \vec{N}$,
а затем в проекциях на координатные оси
$\begin{cases} m_{1}a = m_{1}g - T \\ m_{2}a = T + N \sin \alpha \\ 0 = m_{2}g - Q. \end{cases}$
Последнее уравнение в данной задаче не используется, т.к. оно служит для определения нормальной реакции $Q$ опоры и, соответственно, силы трения между телом $m_{2}$ и поверхностью опоры, но по условию трения нет.
Для тела $m_{3}$: $m_{3} ( \vec{a}^{ \prime } + \vec{a}) = m_{3}g + \vec{N}$
$\begin{cases} m_{3} (a^{ \prime } - a \cos \alpha ) = m_{3}g \sin \alpha \\ - m_{3} a \sin \alpha = - m_{3}g \cos \alpha + N. \end{cases} $
При составлении векторного уравнения движения для тела $m_{3}$ учитывалось, что оно участвует одновременно в двух независимых движениях: относительно тела $m_{2}$ с ускорением $\vec{a}^{ \prime }$ ( система отсчета $x^{ \prime}, y^{ \prime}$) и вместе с телом $m_{2}$ с ускорением $\vec{a}$ ( система отсчета $x, y$). Результирующее движение в неподвижной системе отсчета $x, y$ будет происходить с ускорением $\vec{a}_{3} = \vec{a}^{ \prime} + \vec{a}$.
Рассмотрим совместно уравнения
$\begin{cases} m_{1}a = m_{1}g - T \\ m_{2}a = T + N \sin \alpha \\ m_{3} (a^{ \prime} - a \cos \alpha ) = m_{3}g \sin \alpha \\ -m_{3}a \sin \alpha = - m_{3}g \cos \alpha + N. \end{cases}$
Эта система содержит четыре неизвестных: $T, N, a^{ \prime}, a$. Сложив первые два уравнения системы, исключим $T$:
$(m_{1} + m_{2} )a = m_{1}g + N \sin \alpha$.
Из последнего уравнения найдем $N$ и подставим найденное значение $N = m_{3}(g \cos \alpha - a \sin \alpha )$ в предыдущее уравнение, откуда получим $(m_{1} + m_{2} )a = m_{1}g + m_{3} (g \cos \alpha - a \sin \alpha ) \sin \alpha$.
Решая его относительно $a$, получаем: $a = \frac{m_{1} + m_{3} \cos \alpha \sin \alpha }{m_{1} + m_{2} + m_{3} \sin^{2} \alpha }$.
Теперь, подставляя найденное значение $a$, находим искомое ускорение $a^{ \prime } = \frac{m_{1}(1 + ctg \alpha ) + m_{2} + m_{3} }{ m_{1} + m_{2} + m_{3} \sin^{2} \alpha } g \sin \alpha$.
