Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14826
2021-01-30 
Колесо радиуса $R = 0,5 м$ катится без скольжения по горизонтальной дороге (рис.) со скоростью $v_{0} = 1 м/с$. Найти величину и направление ускорения точки $B$.
Решение:
Плоское движение тела можно представить как комбинацию движения и вращения центра масс. Поэтому можем записать:
$\vec{v}_{a} = \vec{v}_{c} + \vec{v}_{ac} = \vec{v}_{c} + \vec{ \omega} \times \vec{r}_{ac}$ (1)
и $\vec{w}_{a} = \vec{w}_{c} + \vec{w}_{ac} = \vec{w}_{c} + \omega^{2} (- \vec{r}_{ac} ) + ( \vec{ \beta } \times \vec{r}_{ac} )$. (2)
По условию $v_{c} = v = const$ и вращение без проскальзывания, то есть $v_{c} = v = \omega R$, так что $w_{c} = 0$ и $\beta = 0$. Используя эти условия, из (2) получаем
$\vec{w}_{a} = w^{2} ( - \vec{r}_{ac} ) = \omega^{2} R( - \vec{e}_{ac} ) = \frac{v^{2} }{R} ( - \vec{e}_{ac} )$, здесь $\vec{e}_{ac}$ - единичный вектор, направленный вдоль $\vec{r}_{ac}$.
Следовательно, $w_{a} = \frac{v^{2} }{R} = \frac{1,00^{2} }{0,50} = 2,0 м/с^{2}$ и $\vec{w}_{a}$ направлен вдоль $- \vec{e}_{ac}$) или по направлению к центру колеса.
(б) Пусть центр колеса движется вправо, тогда для чистого скольжения по жесткой горизонтальной поверхности колесо будет вращаться по часовой стрелке. Если $\omega$ - угловая скорость вращения, тогда $\omega = \frac{v_{c} }{R} = \frac{v}{R}$.
Пусть точка $A$ касается горизонтальной поверхности при $t = 0$, и далее найдем координаты $A$ при $t = t$.
Полагая $\theta = \omega t$ в центре колеса, из (1) получаем:
$\vec{v}_{a} = \vec{v}_{c} + \vec{ \omega} \times \vec{r}_{ac} = v \vec{i} + \omega ( - \vec{k} ) \times [ R \cos \theta \cdot (- \vec{j} ) + R \sin \theta ( - \vec{i})]$, или
$\vec{v}_{a} = ( v - \cos ( \omega t)) \vec{i} + v \sin ( \omega t) \vec{j}$.
Таким образом $v_{a} = \sqrt{(v - \cos ( \omega t))^{2} + (v \sin( \omega t))^{2}} = 2v \sin \frac{ \omega t}{2}$.
Следовательно расстояние, пройденное точкой $A$ за время $T = \frac{2 \pi }{ \omega}$ есть
$s = \int v_{a} dt = \int_{0}^{ \frac{2 \pi}{w} } 2v \sin \frac{ \omega t}{2} dt = 8R$. Таким образом, $s = 8R = 8 \cdot 0,50 м = 4 м$.
Колесо радиуса $R = 0,5 м$ катится без скольжения по горизонтальной дороге (рис.) со скоростью $v_{0} = 1 м/с$. Найти величину и направление ускорения точки $B$.
Решение:
Плоское движение тела можно представить как комбинацию движения и вращения центра масс. Поэтому можем записать:
$\vec{v}_{a} = \vec{v}_{c} + \vec{v}_{ac} = \vec{v}_{c} + \vec{ \omega} \times \vec{r}_{ac}$ (1)
и $\vec{w}_{a} = \vec{w}_{c} + \vec{w}_{ac} = \vec{w}_{c} + \omega^{2} (- \vec{r}_{ac} ) + ( \vec{ \beta } \times \vec{r}_{ac} )$. (2)
По условию $v_{c} = v = const$ и вращение без проскальзывания, то есть $v_{c} = v = \omega R$, так что $w_{c} = 0$ и $\beta = 0$. Используя эти условия, из (2) получаем
$\vec{w}_{a} = w^{2} ( - \vec{r}_{ac} ) = \omega^{2} R( - \vec{e}_{ac} ) = \frac{v^{2} }{R} ( - \vec{e}_{ac} )$, здесь $\vec{e}_{ac}$ - единичный вектор, направленный вдоль $\vec{r}_{ac}$.
Следовательно, $w_{a} = \frac{v^{2} }{R} = \frac{1,00^{2} }{0,50} = 2,0 м/с^{2}$ и $\vec{w}_{a}$ направлен вдоль $- \vec{e}_{ac}$) или по направлению к центру колеса.
(б) Пусть центр колеса движется вправо, тогда для чистого скольжения по жесткой горизонтальной поверхности колесо будет вращаться по часовой стрелке. Если $\omega$ - угловая скорость вращения, тогда $\omega = \frac{v_{c} }{R} = \frac{v}{R}$.
Пусть точка $A$ касается горизонтальной поверхности при $t = 0$, и далее найдем координаты $A$ при $t = t$.
Полагая $\theta = \omega t$ в центре колеса, из (1) получаем:
$\vec{v}_{a} = \vec{v}_{c} + \vec{ \omega} \times \vec{r}_{ac} = v \vec{i} + \omega ( - \vec{k} ) \times [ R \cos \theta \cdot (- \vec{j} ) + R \sin \theta ( - \vec{i})]$, или
$\vec{v}_{a} = ( v - \cos ( \omega t)) \vec{i} + v \sin ( \omega t) \vec{j}$.
Таким образом $v_{a} = \sqrt{(v - \cos ( \omega t))^{2} + (v \sin( \omega t))^{2}} = 2v \sin \frac{ \omega t}{2}$.
Следовательно расстояние, пройденное точкой $A$ за время $T = \frac{2 \pi }{ \omega}$ есть
$s = \int v_{a} dt = \int_{0}^{ \frac{2 \pi}{w} } 2v \sin \frac{ \omega t}{2} dt = 8R$. Таким образом, $s = 8R = 8 \cdot 0,50 м = 4 м$.
