ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-01-30   
Диск начинает вращаться вокруг закрепленной оси с угловым ускорением, изменяющимся по закону $\epsilon = \epsilon_{0} \cos \phi$, где $\epsilon_{0}$ -постоянная, $\phi$ - угол поворота из начального положения. Найти зависимость угловой скорости от угла поворота.


Решение:


По определению углового ускорения:

$\epsilon = \frac{d \omega }{dt}$

Имеем:

$\frac{d \omega }{dt} = \epsilon_{0} \cos \phi$; (1)

В дифференциальном уравнении (1) перейдем от функции $\omega(t)$ и $\phi(t)$ к функции $\omega( \phi )$:

$\frac{d \omega }{dt} = \frac{d \omega }{d \phi } \frac{d \phi }{dt} = \frac{d \omega }{d \phi } \omega$

Получаем: $\frac{d \omega }{d \phi } \omega = \epsilon_{0} \cos \phi$. (2)

(2) - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

$\omega d \omega = \epsilon_{0} \cos \phi d \phi$

Интегрируем обе части:

$\frac{ \omega^{2} }{2} = \epsilon_{0} \sin \phi + C; C = const$.

Полагая, что при $t = 0; \phi = 0$ и $\omega = 0$, имеем:

$\frac{0}{2} = \epsilon_{0} \sin 0 + C \Rightarrow C = 0$
$\frac{ \omega^{2} }{2} = \epsilon_{0} \sin \phi + 0$.

Находим зависимость $\omega ( \phi )$:

$\omega^{2} = 2 \epsilon_{0} \sin \phi$
$\omega ( \phi ) = \sqrt{ 2 \epsilon_{0} \sin \phi }$.