ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-01-30   
Груз приводит во вращение вал (рис.) радиуса $r$ и соосную с ним шестерню радиуса $R_{1}$. Определить по какому закону будет изменяться со временем угол поворота второй шестерни радиуса $R_{2}$, находящейся в зацеплении с первой. Движение груза начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением $a$.



Решение:



Так как зубчатые колеса 1 и 2 находятся в зацеплении, то совпадают линейные скорости точек, лежащих на ободе каждого из колеса

$v_{1} = v_{2}$
$\omega_{1}R_{1} = \omega_{2}R_{2}$ (1)

Из (1) следует, что $\Delta \phi_{1} R_{1} = \Delta \phi_{2} R_{2}$ (2) где $\Delta \phi_{1}, \Delta \phi_{2}$ - углы поворота колес 1 и 2. При повороте вала на угол $\Delta \phi_{1}$ груз переместится на $\Delta l = \Delta \phi_{1} r$. (3)

Так как груз движется с постоянным усорением $a$, то $\Delta l (t) = \frac{at^{2} }{2}$ (4)

Из (2), (3) и (4) находим $\phi_{2}(t)$:

$\phi_{2} = \frac{R_{1} }{R_{2} } \phi_{1} = \frac{R_{1} }{R_{2} } \frac{ \Delta l}{r} = \frac{R_{1} }{R_{2}r } \frac{at^{2} }{2}$.