Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14820
2021-01-30 
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону $\phi = \alpha t - \beta t^{3}$ [рад], где $\alpha = 6 рад/с, \beta = 2 рад/с^{3}$. Найти среднее значение угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от $t = 0$ до остановки.
Решение:
Предположим, что ось вращения - $z$, направление которой совпадает с положительным направлением координаты $\phi$, угла вращения, в соответствии с правилом вращения правой руки.
(а) Дифференцируя $\phi(t)$ по времени, получаем:
$\frac{d \phi }{dt} = a - 3 bt^{2} = \omega_{z}$ (1)
$\frac{d^{2} \phi }{dt^{2} } = \frac{d \omega_{z} }{dt} = \epsilon_{z} = -6bt$ (2)
Из (1) тело остановится при $\Delta t = t = \sqrt{ \frac{a}{3b} }$. Угловая скорость при $0 \leq t \leq \sqrt{ \frac{a}{3b} }$ равна $w = a - 3bt^{2}$, так что
$\langle w \rangle = \frac{ \int w dt }{ \int dt } = \frac{ \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{a}{3b} } } (a - 3bt^{2} )dt }{ \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{a}{3b} } } } = \frac{ \left . at - bt^{3} \right |_{0}^{ \sqrt{ \frac{a}{3b} } } }{ \sqrt{ \frac{a}{3b} } } = \frac{2a}{3}$.
Аналогично $\epsilon = | \epsilon_{z} | = 6bt$ для всех значений $t$, так что
$\langle \epsilon \rangle = \frac{ \int \epsilon dt }{ \int dt } = \frac{ \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{a}{3b} } } 6bt dt }{ \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{a}{3b} } } dt } = \sqrt{3ab}$.
(б) Из (2) $\epsilon_{z} = - 6bt$, так что $( \epsilon_{z} )_{t} = \sqrt{ \frac{a}{3b} } = - 6b \sqrt{ \frac{a}{3b} } = - 2 \sqrt{3ab}$
Следовательно, $\epsilon = | ( \epsilon_{z} )_{t} = \sqrt{ \frac{a}{3b} } | = 2 \sqrt{3ab}$.
Ответ: а) $\langle w \rangle = 4 рад/с$ $\langle \epsilon \rangle = 6 рад/с^{2}$ б) $\epsilon = 12 рад/с^{2}$.
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону $\phi = \alpha t - \beta t^{3}$ [рад], где $\alpha = 6 рад/с, \beta = 2 рад/с^{3}$. Найти среднее значение угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от $t = 0$ до остановки.
Решение:
Предположим, что ось вращения - $z$, направление которой совпадает с положительным направлением координаты $\phi$, угла вращения, в соответствии с правилом вращения правой руки.
(а) Дифференцируя $\phi(t)$ по времени, получаем:
$\frac{d \phi }{dt} = a - 3 bt^{2} = \omega_{z}$ (1)
$\frac{d^{2} \phi }{dt^{2} } = \frac{d \omega_{z} }{dt} = \epsilon_{z} = -6bt$ (2)
Из (1) тело остановится при $\Delta t = t = \sqrt{ \frac{a}{3b} }$. Угловая скорость при $0 \leq t \leq \sqrt{ \frac{a}{3b} }$ равна $w = a - 3bt^{2}$, так что
$\langle w \rangle = \frac{ \int w dt }{ \int dt } = \frac{ \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{a}{3b} } } (a - 3bt^{2} )dt }{ \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{a}{3b} } } } = \frac{ \left . at - bt^{3} \right |_{0}^{ \sqrt{ \frac{a}{3b} } } }{ \sqrt{ \frac{a}{3b} } } = \frac{2a}{3}$.
Аналогично $\epsilon = | \epsilon_{z} | = 6bt$ для всех значений $t$, так что
$\langle \epsilon \rangle = \frac{ \int \epsilon dt }{ \int dt } = \frac{ \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{a}{3b} } } 6bt dt }{ \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{a}{3b} } } dt } = \sqrt{3ab}$.
(б) Из (2) $\epsilon_{z} = - 6bt$, так что $( \epsilon_{z} )_{t} = \sqrt{ \frac{a}{3b} } = - 6b \sqrt{ \frac{a}{3b} } = - 2 \sqrt{3ab}$
Следовательно, $\epsilon = | ( \epsilon_{z} )_{t} = \sqrt{ \frac{a}{3b} } | = 2 \sqrt{3ab}$.
Ответ: а) $\langle w \rangle = 4 рад/с$ $\langle \epsilon \rangle = 6 рад/с^{2}$ б) $\epsilon = 12 рад/с^{2}$.
