Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14817
2021-01-30 
Точка начинает движение из начала координат со скоростью, закон изменения которой представлен в виде $\vec{v} = \alpha \sin \left ( \frac{ \pi}{2} t \right ) \vec{i} + \beta \cos \left ( \frac{ \pi}{2} t \right ) \vec{j}$ [м/с], где $\alpha = 2 \beta = \pi$ [м/с]. Найти угол между вектором ускорения и радиус-вектором в момент времени $t_{1} = 1с$.
Решение:
Найдем законы изменения радиус-вектора $\vec{r}$ и ускорения $\vec{a}$ точки:
$\vec{r} = \int \vec{v} dt = \left ( - \alpha \frac{2}{ \pi} \cdot \frac{ \pi }{2} t + C_{x} \right ) \vec{i} + \left ( \beta \frac{2}{ \pi } \sin \frac{ \pi }{2} t + C_{y} \right ) \vec{j}$
$\begin{cases} x = - \alpha \frac{2}{ \pi } \cos \frac{ \pi }{2} t + C_{x} \\ y = \beta \frac{2}{ \pi } \sin \frac{ \pi }{2} t + C_{y} \end{cases}$
С учетом начальных условий имеем $x(0) = y(0) = 0$, имеем:
$x(0) = - \alpha \frac{2}{ \pi } \cos 0 + C_{x} = - \alpha \frac{2 }{ \pi } + C_{x} = 0 \Rightarrow C_{x} = \frac{2 \alpha }{ \pi }$
$y(0) = \beta \frac{2 }{ \pi } \sin 0 + C_{y} = 0 + C_{y} = 0 \Rightarrow C_{y} = 0$
$\begin{cases} x(t) = \frac{2 \alpha }{ \pi } \left ( 1 - \cos \frac{ \pi }{2} t \right ); \\ y(t) = \frac{2 \beta }{ \pi } \sin \frac{ \pi }{2}t; \end{cases}$
$\vec{a} = \frac{d \vec{v} }{dt} = \frac{ \pi \alpha }{2} \cos \frac{ \pi }{2} t \cdot \vec{i} - \frac{ \pi \beta }{2} \sin \frac{ \pi }{2} t \cdot \vec{j}$
Находим угол между векторами $\vec{r}$ и $\vec{a}$:
$\cos \phi = \cos ( \hat{ \vec{r} \vec{a} } ) = \frac{( \vec{r}; \vec{a} )}{ | \vec{r} | \cdot | \vec{a} | } = \frac{xa_{x} + y a_{y} }{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} } }$;
$( \vec{r}; \vec{a} )$ - скалярное произведение векторов $\vec{r}$ и $\vec{a}$.
При $t_{1} = 1 с$: $x = \frac{2 \alpha }{ \pi } \left ( 1 - \cos \frac{ \pi }{2} \right ) = \frac{2 \alpha }{ \pi } (1 - 0) = \frac{2 \alpha }{ \pi }$
$y = \frac{2 \beta }{ \pi } \sin \frac{ \pi }{2} = \frac{2 \beta }{ \pi }$
$a_{x} = \frac{ \pi \alpha }{2} \cos \frac{ \pi }{2} = 0; a_{y} = - \frac{ \pi \beta }{2} \sin \frac{ \pi }{2} = - \frac{ \pi \beta }{2}$
$\cos \phi = \frac{ \frac{2 \alpha }{ \pi} \cdot 0 + \frac{2 \beta }{ \pi } \left ( - \frac{ \pi \beta }{2} \right ) }{ \sqrt{ \frac{4 \alpha^{2} }{ \pi^{2} } + \frac{4 \beta^{2} }{ \pi^{2} } } \sqrt{ 0 + \frac{ \pi^{2} \beta^{2} }{4} } } = \frac{ - \beta^{2} }{ \frac{2}{ \pi } \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2} } \frac{ \pi \beta }{2} } = - \frac{ \beta }{ \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2} } }$;
$\cos \phi = - \frac{ \frac{ \pi }{2} }{ \sqrt{ \pi^{2} + \frac{ \pi^{2} }{4} } } = - \frac{ \frac{ \pi }{2} }{ \frac{ \pi }{2} \sqrt{4 + 1} } = - \frac{1}{ \sqrt{5} }$;
$\phi = arccos \left ( - \frac{1}{ \sqrt{5} } \right ) \approx 63,44^{ \circ}$.
Точка начинает движение из начала координат со скоростью, закон изменения которой представлен в виде $\vec{v} = \alpha \sin \left ( \frac{ \pi}{2} t \right ) \vec{i} + \beta \cos \left ( \frac{ \pi}{2} t \right ) \vec{j}$ [м/с], где $\alpha = 2 \beta = \pi$ [м/с]. Найти угол между вектором ускорения и радиус-вектором в момент времени $t_{1} = 1с$.
Решение:
Найдем законы изменения радиус-вектора $\vec{r}$ и ускорения $\vec{a}$ точки:
$\vec{r} = \int \vec{v} dt = \left ( - \alpha \frac{2}{ \pi} \cdot \frac{ \pi }{2} t + C_{x} \right ) \vec{i} + \left ( \beta \frac{2}{ \pi } \sin \frac{ \pi }{2} t + C_{y} \right ) \vec{j}$
$\begin{cases} x = - \alpha \frac{2}{ \pi } \cos \frac{ \pi }{2} t + C_{x} \\ y = \beta \frac{2}{ \pi } \sin \frac{ \pi }{2} t + C_{y} \end{cases}$
С учетом начальных условий имеем $x(0) = y(0) = 0$, имеем:
$x(0) = - \alpha \frac{2}{ \pi } \cos 0 + C_{x} = - \alpha \frac{2 }{ \pi } + C_{x} = 0 \Rightarrow C_{x} = \frac{2 \alpha }{ \pi }$
$y(0) = \beta \frac{2 }{ \pi } \sin 0 + C_{y} = 0 + C_{y} = 0 \Rightarrow C_{y} = 0$
$\begin{cases} x(t) = \frac{2 \alpha }{ \pi } \left ( 1 - \cos \frac{ \pi }{2} t \right ); \\ y(t) = \frac{2 \beta }{ \pi } \sin \frac{ \pi }{2}t; \end{cases}$
$\vec{a} = \frac{d \vec{v} }{dt} = \frac{ \pi \alpha }{2} \cos \frac{ \pi }{2} t \cdot \vec{i} - \frac{ \pi \beta }{2} \sin \frac{ \pi }{2} t \cdot \vec{j}$
Находим угол между векторами $\vec{r}$ и $\vec{a}$:
$\cos \phi = \cos ( \hat{ \vec{r} \vec{a} } ) = \frac{( \vec{r}; \vec{a} )}{ | \vec{r} | \cdot | \vec{a} | } = \frac{xa_{x} + y a_{y} }{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} } }$;
$( \vec{r}; \vec{a} )$ - скалярное произведение векторов $\vec{r}$ и $\vec{a}$.
При $t_{1} = 1 с$: $x = \frac{2 \alpha }{ \pi } \left ( 1 - \cos \frac{ \pi }{2} \right ) = \frac{2 \alpha }{ \pi } (1 - 0) = \frac{2 \alpha }{ \pi }$
$y = \frac{2 \beta }{ \pi } \sin \frac{ \pi }{2} = \frac{2 \beta }{ \pi }$
$a_{x} = \frac{ \pi \alpha }{2} \cos \frac{ \pi }{2} = 0; a_{y} = - \frac{ \pi \beta }{2} \sin \frac{ \pi }{2} = - \frac{ \pi \beta }{2}$
$\cos \phi = \frac{ \frac{2 \alpha }{ \pi} \cdot 0 + \frac{2 \beta }{ \pi } \left ( - \frac{ \pi \beta }{2} \right ) }{ \sqrt{ \frac{4 \alpha^{2} }{ \pi^{2} } + \frac{4 \beta^{2} }{ \pi^{2} } } \sqrt{ 0 + \frac{ \pi^{2} \beta^{2} }{4} } } = \frac{ - \beta^{2} }{ \frac{2}{ \pi } \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2} } \frac{ \pi \beta }{2} } = - \frac{ \beta }{ \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2} } }$;
$\cos \phi = - \frac{ \frac{ \pi }{2} }{ \sqrt{ \pi^{2} + \frac{ \pi^{2} }{4} } } = - \frac{ \frac{ \pi }{2} }{ \frac{ \pi }{2} \sqrt{4 + 1} } = - \frac{1}{ \sqrt{5} }$;
$\phi = arccos \left ( - \frac{1}{ \sqrt{5} } \right ) \approx 63,44^{ \circ}$.
