Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14816
2021-01-30 
Частица начала движение из начала координат так, что ее скорость меняется по закону $\vec{v} = \vec{v}_{0} \left (1 - \frac{t}{ \tau} \right )$, где $\vec{v}_{0}$ - начальная скорость, $v_{0} = 0,1 м/с, \tau = 5 с$. В какие моменты времени частица будет находиться на расстоянии 0,1 м от начала координат?
Решение:
Найдем закон изменения радиус-вектора:
$\vec{r} = \int \vec{v} dt = \vec{v}_{0} \int \left ( 1 - \frac{t}{ \tau } \right ) dt = \vec{v}_{0} \left ( t - \frac{t^{2} }{2 \tau } \right ) + \vec{C}$.
Определим вектор-константу $\vec{C}$ из начальных условий: при $t = 0 \: \vec{r}(0) = 0$:
$\vec{r}(0) = \vec{v}_{0} (0 - 0) + \vec{C} = 0 \Rightarrow \vec{C} = 0$
$\vec{r}(t) = \vec{v}_{0} \left ( t - \frac{t^{2} }{2 \tau } \right )$.
Расстояние от частицы до начала координат равно модулю радиус-векторами:
$r = | \vec{r} | = | \vec{v}_{0} | \left | t - \frac{t^{2} }{2 \tau } \right | = v_{0}t \left | 1 - \frac{t}{2 \tau } \right | = \begin{cases} v_{0}t \left ( 1 - \frac{t}{2 \tau } \right ), \: при \: t \leq 2 \tau \\ v_{0} t \left ( \frac{t}{2 \tau } - 1 \right ), \: при \: t \geq 2 \tau. \end{cases}$
1) Рассмотрим случай $t \leq 2 \tau$: ($t \leq 10 с$)
$r = v_{0}t \left ( 1 - \frac{t}{2 \tau } \right )$
$t^{2} = 2 \tau t + \frac{2 \tau r}{v_{0} } = 0$
$t_{1,2} = r \pm \sqrt{ \tau^{2} - \frac{2 \tau r}{v_{0} } }$
$t_{1} = 5 + \sqrt{25 - 10 } = 8,87 с$,
$t_{2} = 5 - \sqrt{15} = 1,13 с$.
2) Случай $t \geq 2 \tau$ ($t \geq 10 с$):
$r = v_{0}t \left ( \frac{t}{2 \tau } - 1 \right )$
$t^{2} - 2 \tau t - \frac{2 \tau r}{v_{0} } = 0$
$t_{3,4} = r \pm \sqrt{ \tau^{2} + \frac{2 \tau r}{v_{0} } }$
$t_{3} = 5 + \sqrt{25 + 10 } = 10,92 с$,
$t_{4} = 5 - \sqrt{35} = - 0,92 с$ - не является решением задачи
Частица начала движение из начала координат так, что ее скорость меняется по закону $\vec{v} = \vec{v}_{0} \left (1 - \frac{t}{ \tau} \right )$, где $\vec{v}_{0}$ - начальная скорость, $v_{0} = 0,1 м/с, \tau = 5 с$. В какие моменты времени частица будет находиться на расстоянии 0,1 м от начала координат?
Решение:
Найдем закон изменения радиус-вектора:
$\vec{r} = \int \vec{v} dt = \vec{v}_{0} \int \left ( 1 - \frac{t}{ \tau } \right ) dt = \vec{v}_{0} \left ( t - \frac{t^{2} }{2 \tau } \right ) + \vec{C}$.
Определим вектор-константу $\vec{C}$ из начальных условий: при $t = 0 \: \vec{r}(0) = 0$:
$\vec{r}(0) = \vec{v}_{0} (0 - 0) + \vec{C} = 0 \Rightarrow \vec{C} = 0$
$\vec{r}(t) = \vec{v}_{0} \left ( t - \frac{t^{2} }{2 \tau } \right )$.
Расстояние от частицы до начала координат равно модулю радиус-векторами:
$r = | \vec{r} | = | \vec{v}_{0} | \left | t - \frac{t^{2} }{2 \tau } \right | = v_{0}t \left | 1 - \frac{t}{2 \tau } \right | = \begin{cases} v_{0}t \left ( 1 - \frac{t}{2 \tau } \right ), \: при \: t \leq 2 \tau \\ v_{0} t \left ( \frac{t}{2 \tau } - 1 \right ), \: при \: t \geq 2 \tau. \end{cases}$
1) Рассмотрим случай $t \leq 2 \tau$: ($t \leq 10 с$)
$r = v_{0}t \left ( 1 - \frac{t}{2 \tau } \right )$
$t^{2} = 2 \tau t + \frac{2 \tau r}{v_{0} } = 0$
$t_{1,2} = r \pm \sqrt{ \tau^{2} - \frac{2 \tau r}{v_{0} } }$
$t_{1} = 5 + \sqrt{25 - 10 } = 8,87 с$,
$t_{2} = 5 - \sqrt{15} = 1,13 с$.
2) Случай $t \geq 2 \tau$ ($t \geq 10 с$):
$r = v_{0}t \left ( \frac{t}{2 \tau } - 1 \right )$
$t^{2} - 2 \tau t - \frac{2 \tau r}{v_{0} } = 0$
$t_{3,4} = r \pm \sqrt{ \tau^{2} + \frac{2 \tau r}{v_{0} } }$
$t_{3} = 5 + \sqrt{25 + 10 } = 10,92 с$,
$t_{4} = 5 - \sqrt{35} = - 0,92 с$ - не является решением задачи
