ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-01-30   
Радиус-вектор частицы меняется по закону $\vec{r} = \vec{ \tau} (t - \alpha t^{2})$, где $\alpha$ - постоянная, $\vec{ \tau }$ - постоянный вектор. Через какое время после начала движения частица вернется в исходную точку, и какой путь она при этом пройдет?


Решение:


Так как в момент времени $t_{1}$ частица веренется в исходную точку, то

$\vec{r}(t_{1}) = \vec{r}(0)$
$\vec{r} (t_{1} - \alpha t_{1}^{2}) = \vec{ r } (0 - 0)$
$t_{1} - \alpha t_{1}^{2} = 0$

Так как то $t_{1} \neq 0$, то $1 - \alpha t_{1} = 0; t_{1} = \frac{1}{ \alpha }$

Скорость частицы: $\vec{v} = \frac{d \vec{r} }{dt} = \vec{ \tau } (1 - 2 \alpha t)$

Модуль скорости частицы:

$v = | \vec{v} | = | \vec{ \tau } | \cdot |1 - 2 \alpha t | = \tau |1 - 2 \alpha t| = \begin{cases} \tau (1 - 2 \alpha t), t < \frac{1}{2 \alpha } \\ \tau (2 \alpha t - 1), t > \frac{1}{2 \alpha } \end{cases}$

Пусть, пройденный частицей:

$S = \int_{0}^{t_{1} } vdt = \int_{0}^{t_{1} } \tau |1 - 2 \alpha t| dt = \int_{0}^{ \frac{1}{2 \alpha } } \tau (1 - 2 \alpha t) dt + \int_{ \frac{1}{2 \alpha } }^{t_{1} } r(2 \alpha t - 1) dt = \left . \tau (t - \alpha t^{2} ) \right |_{0}^{ \frac{1}{2 \alpha } } + \left . \tau ( \alpha t^{2} - t ) \right |_{ \frac{1}{2 \alpha } }^{ \frac{1}{ \alpha } } = \tau \left ( \frac{1}{2 \alpha } - \frac{1}{4 \alpha } \right ) + \tau \left ( \frac{1}{ \alpha } - \frac{1}{ \alpha } - \frac{1}{4 \alpha } + \frac{1}{2 \alpha } \right ) = \tau \frac{1}{4 \alpha } + \tau \frac{1}{ 4 \alpha }$,
$S = \frac{ \tau }{2 \alpha }$