Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14812
2021-01-30 
Материальная точка начала движение из начала координат и движется так, что ее скорость зависит от времени по закону $\vec{v}_{1} = ( \alpha t^{2} + \beta t) \vec{i} + \gamma t^{3} \vec{j}$ [м/с]. Одновременно вторая точка начала движение и движется так, что радиус-вектор зависит от времени по закону $\vec{r}_{2} = \delta t^{3} \vec{i} + \theta t^{4} \vec{j}$ [м], где $\alpha, \beta , \gamma , \delta , \theta$ - постоянные. Найти угол $\phi$ между ускорениями точек через промежуток времени $\tau$ после начала движения.
Решение:
Найдем векторы усокрения точек:
$\vec{a}_{1} = \frac{d \vec{v}_{1} }{dt} = (2 \alpha t + \beta ) \vec{i} + 3 \gamma t^{2} \vec{j}$
$\vec{v}_{2} = \frac{d \vec{r}_{2} }{dt} = 3 \delta t^{2} \vec{i} + 4 \theta t^{3} \vec{j}$
$\vec{a}_{2} = \frac{d \vec{v}_{2} }{dt} = 6 \delta t \vec{i} + 12 \theta t^{2} \vec{j}$
Косинус угла между векторами $\vec{a}_{1}$ и $\vec{a}_{2}$ равен:
$\cos \phi = \cos ( \hat{ \vec{a}_{1} \vec{a}_{2} } ) = \frac{ ( \vec{a}_{1}; \vec{a}_{2} ) }{ | \vec{a}_{1} | \cdot | \vec{a}_{2} | }$;
где $( \vec{a}_{1}; \vec{a}_{2} )$ - скалярное произведение векторов:
$( \vec{a}_{1}; \vec{a}_{2} ) = a_{1x} \cdot a_{2x} + a_{1y} \cdot a_{2y} = (2 \alpha t + \beta ) 6 \delta t + 36 \gamma \theta t^{4}$;
$| \vec{a}_{1} |$ и $| \vec{a}_{2} |$ - модули вектороа $\vec{a}_{1}$ и $\vec{a}_{2}$:
$| \vec{a}_{1} | = \sqrt{ a_{1x}^{2} + a_{1y}^{2} } = \sqrt{ (2 \alpha t + \beta )^{2} + (3 \gamma t^{2} )^{2} }$
$| \vec{a}_{2} | = \sqrt{ a_{2x}^{2} + a_{2y}^{2} } = \sqrt{ (6 \delta t)^{2} + (12 \theta t^{2} )^{2} } = 6t \sqrt{ \delta^{2} + 4 \theta^{2}t^{2} }$
$\cos \phi = \frac{6t (\delta (2 \alpha t + \beta ) + 6 \gamma \theta t^{3} ) }{ \sqrt{ (2 \alpha t + \beta )^{2} + 9 \gamma^{2}t^{4} } 6t \sqrt{ \delta^{2} + 4 \theta^{2}t^{2} } }$
$\phi = arccos \frac{ \delta (2 \alpha t + \beta ) + 6 \gamma \theta t^{3} ) }{ \sqrt{ (2 \alpha t + \beta )^{2} + 9 \gamma^{2}t^{4} } \sqrt{ \delta^{2} + 4 \theta^{2}t^{2} } }$
В момент времени $t = \tau$:
$\phi = arccos \frac{ \delta (2 \alpha \tau + \beta ) + 6 \gamma \theta \tau^{3} ) }{ \sqrt{ (2 \alpha \tau + \beta )^{2} + 9 \gamma^{2} \tau^{4} } \sqrt{ \delta^{2} + 4 \theta^{2} \tau^{2} } }$
Материальная точка начала движение из начала координат и движется так, что ее скорость зависит от времени по закону $\vec{v}_{1} = ( \alpha t^{2} + \beta t) \vec{i} + \gamma t^{3} \vec{j}$ [м/с]. Одновременно вторая точка начала движение и движется так, что радиус-вектор зависит от времени по закону $\vec{r}_{2} = \delta t^{3} \vec{i} + \theta t^{4} \vec{j}$ [м], где $\alpha, \beta , \gamma , \delta , \theta$ - постоянные. Найти угол $\phi$ между ускорениями точек через промежуток времени $\tau$ после начала движения.
Решение:
Найдем векторы усокрения точек:
$\vec{a}_{1} = \frac{d \vec{v}_{1} }{dt} = (2 \alpha t + \beta ) \vec{i} + 3 \gamma t^{2} \vec{j}$
$\vec{v}_{2} = \frac{d \vec{r}_{2} }{dt} = 3 \delta t^{2} \vec{i} + 4 \theta t^{3} \vec{j}$
$\vec{a}_{2} = \frac{d \vec{v}_{2} }{dt} = 6 \delta t \vec{i} + 12 \theta t^{2} \vec{j}$
Косинус угла между векторами $\vec{a}_{1}$ и $\vec{a}_{2}$ равен:
$\cos \phi = \cos ( \hat{ \vec{a}_{1} \vec{a}_{2} } ) = \frac{ ( \vec{a}_{1}; \vec{a}_{2} ) }{ | \vec{a}_{1} | \cdot | \vec{a}_{2} | }$;
где $( \vec{a}_{1}; \vec{a}_{2} )$ - скалярное произведение векторов:
$( \vec{a}_{1}; \vec{a}_{2} ) = a_{1x} \cdot a_{2x} + a_{1y} \cdot a_{2y} = (2 \alpha t + \beta ) 6 \delta t + 36 \gamma \theta t^{4}$;
$| \vec{a}_{1} |$ и $| \vec{a}_{2} |$ - модули вектороа $\vec{a}_{1}$ и $\vec{a}_{2}$:
$| \vec{a}_{1} | = \sqrt{ a_{1x}^{2} + a_{1y}^{2} } = \sqrt{ (2 \alpha t + \beta )^{2} + (3 \gamma t^{2} )^{2} }$
$| \vec{a}_{2} | = \sqrt{ a_{2x}^{2} + a_{2y}^{2} } = \sqrt{ (6 \delta t)^{2} + (12 \theta t^{2} )^{2} } = 6t \sqrt{ \delta^{2} + 4 \theta^{2}t^{2} }$
$\cos \phi = \frac{6t (\delta (2 \alpha t + \beta ) + 6 \gamma \theta t^{3} ) }{ \sqrt{ (2 \alpha t + \beta )^{2} + 9 \gamma^{2}t^{4} } 6t \sqrt{ \delta^{2} + 4 \theta^{2}t^{2} } }$
$\phi = arccos \frac{ \delta (2 \alpha t + \beta ) + 6 \gamma \theta t^{3} ) }{ \sqrt{ (2 \alpha t + \beta )^{2} + 9 \gamma^{2}t^{4} } \sqrt{ \delta^{2} + 4 \theta^{2}t^{2} } }$
В момент времени $t = \tau$:
$\phi = arccos \frac{ \delta (2 \alpha \tau + \beta ) + 6 \gamma \theta \tau^{3} ) }{ \sqrt{ (2 \alpha \tau + \beta )^{2} + 9 \gamma^{2} \tau^{4} } \sqrt{ \delta^{2} + 4 \theta^{2} \tau^{2} } }$
