ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-01-30   
Законы движения двух материальных точек имеют вид $\vec{r}_{1} = (2t - 1) \vec{i}$ [м], $\vec{r}_{2} =(8 - t) \vec{j}$ [м]. В какой момент времени расстояние между точками будет минимальным? Чему оно равно?


Решение:


Радиус-вектор $\Delta \vec{r}$, соединяющий точки, равен:

$\Delta \vec{r} = \vec{r}_{2} - \vec{r}_{1} = (1-2t) \vec{i} + (8 - t) \vec{j}$

Расстояние между точками равно модулю вектора $\Delta \vec{r}$:

$\Delta r = | \Delta \vec{r} | = \sqrt{ (1 - 2t)^{2} + (8 - t)^{2} } = \sqrt{ 4t^{2} - 4t + 1 + t^{2} - 16t + 64 } = \sqrt{5t^{2} - 20t + 65 } = \sqrt{ 5(t^{2} - 4t + 13 ) }$.

Найдем время $t_{min}$, в которое расстояние $\Delta r$ минимально, вычислив производную $\frac{d( \Delta r)}{dt}$ и приравняв ее нулю:

$\frac{d ( \Delta r) }{dt} = \frac{1}{2 \sqrt{5(t^{2} - 4t + 13 ) } } 5 (2t - 4) = 0$
$2t_{min} - 4 = 0$
$t_{min} = 2 с$.

Минимальное расстояние $\Delta r_{min}$:

$\Delta r_{min} = \Delta r(t_{min} ) = \sqrt{ 5(t_{min}^{2} - 4t_{min} + 13 ) }$;
$\Delta r_{min} = \sqrt{5(4 - 8 + 13)} = 3 \sqrt{5} \approx 6,71 м$.