Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14809
2021-01-30 
Частица движется по закону $\vec{r} = B \sin \omega t \vec{i} + A \sin 2 \omega t \vec{j}$ [м], где $A, B, \omega$ - постоянные. Найти уравнение траектории.
Решение:
Закон движения частицы имеет вид: $\vec{r}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j}$, т.е.:
$\begin{cases} x(t) = B \sin \omega t (1) \\ y(t) = A \sin 2 \omega t (2) \end{cases}$
Найдем уравнение траектории $y(x)$ исключив $t$ из системы (1,2):
Из (1) имеем: $\frac{x}{B} = \sin \omega t$
$\sin^{2} \omega t = \frac{x^{2} }{B^{2} }; \cos^{2} \omega t = 1 - \sin^{2} \omega t = 1 - \frac{x^{2} }{B^{2} }$.
Из (2) имеем:
$\frac{y}{A} = \sin 2 \omega t = 2 \sin \omega t \cos \omega t$
$\frac{y^{2} }{A^{2} } = 4 \sin^{2} \omega t \cos^{2} \omega t = 4 \frac{x^{2} }{B^{2} } \left ( 1 - \frac{x^{2} }{B^{2} } \right )$.
$y(x) = 2A \frac{x}{B} \frac{ \sqrt{B^{2} - x^{2} } }{B} = \frac{2Ax}{B^{2} } \sqrt{B^{2} - x^{2} }$.
Частица движется по закону $\vec{r} = B \sin \omega t \vec{i} + A \sin 2 \omega t \vec{j}$ [м], где $A, B, \omega$ - постоянные. Найти уравнение траектории.
Решение:
Закон движения частицы имеет вид: $\vec{r}(t) = x(t) \vec{i} + y(t) \vec{j}$, т.е.:
$\begin{cases} x(t) = B \sin \omega t (1) \\ y(t) = A \sin 2 \omega t (2) \end{cases}$
Найдем уравнение траектории $y(x)$ исключив $t$ из системы (1,2):
Из (1) имеем: $\frac{x}{B} = \sin \omega t$
$\sin^{2} \omega t = \frac{x^{2} }{B^{2} }; \cos^{2} \omega t = 1 - \sin^{2} \omega t = 1 - \frac{x^{2} }{B^{2} }$.
Из (2) имеем:
$\frac{y}{A} = \sin 2 \omega t = 2 \sin \omega t \cos \omega t$
$\frac{y^{2} }{A^{2} } = 4 \sin^{2} \omega t \cos^{2} \omega t = 4 \frac{x^{2} }{B^{2} } \left ( 1 - \frac{x^{2} }{B^{2} } \right )$.
$y(x) = 2A \frac{x}{B} \frac{ \sqrt{B^{2} - x^{2} } }{B} = \frac{2Ax}{B^{2} } \sqrt{B^{2} - x^{2} }$.
