Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14808
2021-01-30 
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость $\omega$ зависит от угла поворота $\phi$ по закону $\omega = \omega_{0} - b \phi$, где $\omega_{0}$ и $b$ положительные постоянные. В момент времени $t = 0$ угол поворота $\phi = 0$. Найти зависимость от времени : 1) угла поворота; 2) угловой скорости.
Решение:
Угол поворота вращающегося твердого тела за время $t$
$\phi(t) = \int_{0}^{t} \omega (t) dt$, где $\omega (t)$ - зависимость от времени угловой скорости. Для нахождения $\omega(t)$ воспользуемся зависимостью $\omega( \phi)$
$\omega = \omega_{0} - b \phi$.
Продифференцируем ее по времени $t$ $\frac{d \omega }{dt} = - b \frac{d \phi }{dt}$, откуда получим дифференциальное уравнение вида $\frac{d \omega }{dt} = - b \omega$. Решим его, разделив переменные $\frac{d \omega }{ \omega } = - b \cdot dt$.
Интегрируя обе части уравнения, найдем его решение в виде
$ln \omega = - bt + C_{1}$.
Обозначим $C_{1} = ln C, ln \omega - ln C = - bt; ln \frac{ \omega }{C} = - bt$. Откуда $\omega = Ce^{ - bt}$.
Постоянную интегрирования $C$ найдем из начального условия. Так как при $t = 0 \: \phi = 0$, то $\omega = \omega_{0}$, откуда $\omega(t) = \omega_{0} e^{-bt}$.
Поскольку, по определению, $\omega = \frac{d \phi}{dt}$, то $\omega dt = d \phi$, интегрируя это выражение получим $\phi(t) = \int_{0}^{t} \omega (t)dt = \int_{0}^{t} \omega_{0} e^{- bt}dt$.
Окончательно, зависимость угла поворота от времени имеет вид $\phi(t) = \frac{ \omega_{0} }{b} (1 - e^{-bt} )$.
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость $\omega$ зависит от угла поворота $\phi$ по закону $\omega = \omega_{0} - b \phi$, где $\omega_{0}$ и $b$ положительные постоянные. В момент времени $t = 0$ угол поворота $\phi = 0$. Найти зависимость от времени : 1) угла поворота; 2) угловой скорости.
Решение:
Угол поворота вращающегося твердого тела за время $t$
$\phi(t) = \int_{0}^{t} \omega (t) dt$, где $\omega (t)$ - зависимость от времени угловой скорости. Для нахождения $\omega(t)$ воспользуемся зависимостью $\omega( \phi)$
$\omega = \omega_{0} - b \phi$.
Продифференцируем ее по времени $t$ $\frac{d \omega }{dt} = - b \frac{d \phi }{dt}$, откуда получим дифференциальное уравнение вида $\frac{d \omega }{dt} = - b \omega$. Решим его, разделив переменные $\frac{d \omega }{ \omega } = - b \cdot dt$.
Интегрируя обе части уравнения, найдем его решение в виде
$ln \omega = - bt + C_{1}$.
Обозначим $C_{1} = ln C, ln \omega - ln C = - bt; ln \frac{ \omega }{C} = - bt$. Откуда $\omega = Ce^{ - bt}$.
Постоянную интегрирования $C$ найдем из начального условия. Так как при $t = 0 \: \phi = 0$, то $\omega = \omega_{0}$, откуда $\omega(t) = \omega_{0} e^{-bt}$.
Поскольку, по определению, $\omega = \frac{d \phi}{dt}$, то $\omega dt = d \phi$, интегрируя это выражение получим $\phi(t) = \int_{0}^{t} \omega (t)dt = \int_{0}^{t} \omega_{0} e^{- bt}dt$.
Окончательно, зависимость угла поворота от времени имеет вид $\phi(t) = \frac{ \omega_{0} }{b} (1 - e^{-bt} )$.
