Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14807
2021-01-30 
Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости $v$ по закону $a = \alpha \sqrt{v}$, где $\alpha$ - положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна $v_{0}$. Какой путь $s$ она пройдет до остановки? За какое время $\tau$ этот путь будет пройден?
Решение:
Для решения задачи надо знать зависимости $v(t)$ и $s(t)$. Зависимость $v(t)$ найдем, используя выражения $a = - \frac{dv}{dt};a = \alpha \sqrt{v}$.
Знак «минус» соответствует тому, что скорость точки убывает со временем ($dt > 0, dv < 0$). Приравнивая правые части, получим дифференциальное уравнение
$\alpha \sqrt{v} = - \frac{dv}{dt}$, разделяя переменные, имеем $\frac{dv}{ \sqrt{v} } = - \alpha dt$.
Проинтегрируем с учетом начальных условий ($t = 0, v = v_{0}$)
$\int_{v_{0} }^{v} \frac{dv}{ \sqrt{v} } = - \alpha \int_{0}^{t} dt, \left . 2 \sqrt{v} \right |_{v_{0} }^{v} = - \left . \alpha t \right |_{0}^{t}, 2 ( \sqrt{v} - \sqrt{v_{0} } ) = - \alpha t, \sqrt{v} = - \frac{1}{2} \alpha t + \sqrt{v_{0} }$.
Возводя в квадрат, окончательно получим
$v(t) = \frac{1}{4} \alpha^{2}t^{2} - \alpha \sqrt{v_{0} }t + v_{0}$.
Зависимость пути от времени $s(t)$ найдем с помощью формулы для модуля скорости $v = \frac{ds}{dt}$, из которой следует
$s = \int_{0}^{t} vdt = \int_{0}^{t} \left ( \frac{1}{4} \alpha^{2}t^{2} - \alpha \sqrt{v_{0} }t + v_{0} \right )dt, s(t) = \frac{ \alpha^{2} }{12} t^{3} - \frac{ \alpha \sqrt{v_{0} } }{2} t^{2} + v_{0}t$.
Исходя из того, что при $t = \tau \: v = 0$, имеем
$\frac{1}{2} \alpha^{2}t^{2} - \alpha \sqrt{v_{0}}t + v_{0} = 0$,
откуда $\tau = 2 \frac{ \sqrt{v_{0} } }{ \alpha }$.
Пройденный путь будет равен $s = \frac{2 v_{0} \sqrt{v_{0} } }{3 \alpha}$.
На рис. изображен график зависимости $v(t)$, представляющий собой параболу. Искомый путь $s$ численно равен площади заштрихованной фигуры.
Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости $v$ по закону $a = \alpha \sqrt{v}$, где $\alpha$ - положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна $v_{0}$. Какой путь $s$ она пройдет до остановки? За какое время $\tau$ этот путь будет пройден?
Решение:
Для решения задачи надо знать зависимости $v(t)$ и $s(t)$. Зависимость $v(t)$ найдем, используя выражения $a = - \frac{dv}{dt};a = \alpha \sqrt{v}$.
Знак «минус» соответствует тому, что скорость точки убывает со временем ($dt > 0, dv < 0$). Приравнивая правые части, получим дифференциальное уравнение
$\alpha \sqrt{v} = - \frac{dv}{dt}$, разделяя переменные, имеем $\frac{dv}{ \sqrt{v} } = - \alpha dt$.
Проинтегрируем с учетом начальных условий ($t = 0, v = v_{0}$)
$\int_{v_{0} }^{v} \frac{dv}{ \sqrt{v} } = - \alpha \int_{0}^{t} dt, \left . 2 \sqrt{v} \right |_{v_{0} }^{v} = - \left . \alpha t \right |_{0}^{t}, 2 ( \sqrt{v} - \sqrt{v_{0} } ) = - \alpha t, \sqrt{v} = - \frac{1}{2} \alpha t + \sqrt{v_{0} }$.
Возводя в квадрат, окончательно получим
$v(t) = \frac{1}{4} \alpha^{2}t^{2} - \alpha \sqrt{v_{0} }t + v_{0}$.
Зависимость пути от времени $s(t)$ найдем с помощью формулы для модуля скорости $v = \frac{ds}{dt}$, из которой следует
$s = \int_{0}^{t} vdt = \int_{0}^{t} \left ( \frac{1}{4} \alpha^{2}t^{2} - \alpha \sqrt{v_{0} }t + v_{0} \right )dt, s(t) = \frac{ \alpha^{2} }{12} t^{3} - \frac{ \alpha \sqrt{v_{0} } }{2} t^{2} + v_{0}t$.
Исходя из того, что при $t = \tau \: v = 0$, имеем
$\frac{1}{2} \alpha^{2}t^{2} - \alpha \sqrt{v_{0}}t + v_{0} = 0$,
откуда $\tau = 2 \frac{ \sqrt{v_{0} } }{ \alpha }$.
Пройденный путь будет равен $s = \frac{2 v_{0} \sqrt{v_{0} } }{3 \alpha}$.
На рис. изображен график зависимости $v(t)$, представляющий собой параболу. Искомый путь $s$ численно равен площади заштрихованной фигуры.
