Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14806
2021-01-30 
Частица движется в плоскости XOY со скоростью $\vec{v} = \alpha \vec{i} + \beta x \vec{j}$, где $\vec{i}, \vec{j}$ - орты осей X и Y; $\alpha, \beta$ - постоянные. В начальный момент частица находилась в точке $x = y = 0$. Найти:
1) уравнение траектории частицы $y(x)$;
2) радиус кривизны траектории в зависимости от $x$.
Решение:
1. Найдем уравнение движения частицы в декартовых координатах и исключим из них время $t$. По условию $\vec{v} = \alpha \vec{i} + \beta x \vec{j}$, откуда
$\begin{cases} v_{x} = \alpha \\ v_{y} = \beta x \end{cases}, v = \sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2} } = \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2}x^{2} }$.
По определению, $\vec{v} = \frac{d \vec{r} }{dt}$, или в декартовых координатах
$v_{x} = \frac{dx}{dt}; v_{y} = \frac{dy}{dt}$. Т.к. $dx = v_{x} dt, x = \int v_{x} dt = \int \alpha dt = \alpha t + C_{1}$.
Константу $C_{1}$ интегрирования найдем, используя начальные условия: $\begin{cases} t = 0 \\ x = 0 \end{cases} \Rightarrow 0 = 0 + C_{1} \Rightarrow C_{1} = 0$. Следовательно, $x = \alpha t$.
Так как $dy = v_{y} dt$, то $y = \int v_{y} dt = \int \beta x dt = \int \alpha \beta tdt = \frac{1}{2} \alpha \beta t^{2} + C_{2}$.
Константу интегрирования найдем аналогично предыдущему: $\begin{cases} t = 0 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow 0 = 0 + C_{2} \Rightarrow C_{2} = 0$. Следовательно, $y = \frac{1}{2} \alpha \beta t^{2}$.
Найдем уравнение траектории $y(x)$
$\begin{cases} x = \alpha t \\ y = \frac{1}{2} \alpha \beta t^{2} \end{cases} \Rightarrow t = \frac{x}{ \alpha} \: y = \frac{ \alpha \beta }{2} \frac{x^{2} }{ \alpha^{2} } = \frac{ \beta }{2 \alpha } x^{2}$.
Траектория частицы представляет собой параболу. График траектории изображен на рис.
2. Чтобы определить радиус кривизны траектории $R$, надо воспользоваться выражением для нормального ускорения $a_{n} = \frac{v^{2} }{R}$, откуда $R = \frac{v^{2} }{a_{n} }$.
Нормальное ускорение $a_{n}$ можно найти из следующих соотношений:
$a = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{ \tau }^{2} }, a_{ \tau } = \frac{dv}{dt}, a = \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} }, a_{x} = \frac{dv_{x} }{dt}, a_{y} = \frac{dv_{y} }{dt}$.
Так как $v_{x} = \alpha = const, a_{x} = 0, a_{y} = \frac{dv_{y} }{dx} \frac{dx}{dt} = \beta \alpha$, то $a = a_{y} = \beta \alpha$.
Так как $a_{ \tau } = \frac{dv}{dt}$, то тангенциальное ускорение $a_{ \tau } = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = \frac{ \alpha^{2} \beta x }{ \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2}x^{2} } }$, а нормальное ускорение $a_{n} = \sqrt{a^{2} - a_{ \tau }^{2} } = \frac{ \alpha^{2} \beta }{ \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2} x^{2} } }$.
Радиус кривизны $R = \frac{ \alpha }{ \beta } \left ( 1 + \frac{ \beta^{2}x^{2} }{ \alpha^{2} } \right )^{ 3/2 }$. Отметим, что для определения нормального ускорения можно использовать формулу $a_{n} = a \cos \phi$, где $\phi$ - угол между векторами $\vec{a}_{n}$ и $\vec{a}$.
Как следует из рис. $\cos \phi = \frac{v_{x} }{v}$, т.е. $\cos \phi = \frac{ \alpha }{ \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2}x^{2} } }$.
Используя $a_{n} = a \cos \phi$, получаем $a_{n} = \frac{ \alpha^{2} \beta }{ \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2}x^{2} } }$, что совпадает ранее полученной формулой.
Частица движется в плоскости XOY со скоростью $\vec{v} = \alpha \vec{i} + \beta x \vec{j}$, где $\vec{i}, \vec{j}$ - орты осей X и Y; $\alpha, \beta$ - постоянные. В начальный момент частица находилась в точке $x = y = 0$. Найти:
1) уравнение траектории частицы $y(x)$;
2) радиус кривизны траектории в зависимости от $x$.
Решение:
1. Найдем уравнение движения частицы в декартовых координатах и исключим из них время $t$. По условию $\vec{v} = \alpha \vec{i} + \beta x \vec{j}$, откуда
$\begin{cases} v_{x} = \alpha \\ v_{y} = \beta x \end{cases}, v = \sqrt{ v_{x}^{2} + v_{y}^{2} } = \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2}x^{2} }$.
По определению, $\vec{v} = \frac{d \vec{r} }{dt}$, или в декартовых координатах
$v_{x} = \frac{dx}{dt}; v_{y} = \frac{dy}{dt}$. Т.к. $dx = v_{x} dt, x = \int v_{x} dt = \int \alpha dt = \alpha t + C_{1}$.
Константу $C_{1}$ интегрирования найдем, используя начальные условия: $\begin{cases} t = 0 \\ x = 0 \end{cases} \Rightarrow 0 = 0 + C_{1} \Rightarrow C_{1} = 0$. Следовательно, $x = \alpha t$.
Так как $dy = v_{y} dt$, то $y = \int v_{y} dt = \int \beta x dt = \int \alpha \beta tdt = \frac{1}{2} \alpha \beta t^{2} + C_{2}$.
Константу интегрирования найдем аналогично предыдущему: $\begin{cases} t = 0 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow 0 = 0 + C_{2} \Rightarrow C_{2} = 0$. Следовательно, $y = \frac{1}{2} \alpha \beta t^{2}$.
Найдем уравнение траектории $y(x)$
$\begin{cases} x = \alpha t \\ y = \frac{1}{2} \alpha \beta t^{2} \end{cases} \Rightarrow t = \frac{x}{ \alpha} \: y = \frac{ \alpha \beta }{2} \frac{x^{2} }{ \alpha^{2} } = \frac{ \beta }{2 \alpha } x^{2}$.
Траектория частицы представляет собой параболу. График траектории изображен на рис.
2. Чтобы определить радиус кривизны траектории $R$, надо воспользоваться выражением для нормального ускорения $a_{n} = \frac{v^{2} }{R}$, откуда $R = \frac{v^{2} }{a_{n} }$.
Нормальное ускорение $a_{n}$ можно найти из следующих соотношений:
$a = \sqrt{a_{n}^{2} + a_{ \tau }^{2} }, a_{ \tau } = \frac{dv}{dt}, a = \sqrt{ a_{x}^{2} + a_{y}^{2} }, a_{x} = \frac{dv_{x} }{dt}, a_{y} = \frac{dv_{y} }{dt}$.
Так как $v_{x} = \alpha = const, a_{x} = 0, a_{y} = \frac{dv_{y} }{dx} \frac{dx}{dt} = \beta \alpha$, то $a = a_{y} = \beta \alpha$.
Так как $a_{ \tau } = \frac{dv}{dt}$, то тангенциальное ускорение $a_{ \tau } = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = \frac{ \alpha^{2} \beta x }{ \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2}x^{2} } }$, а нормальное ускорение $a_{n} = \sqrt{a^{2} - a_{ \tau }^{2} } = \frac{ \alpha^{2} \beta }{ \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2} x^{2} } }$.
Радиус кривизны $R = \frac{ \alpha }{ \beta } \left ( 1 + \frac{ \beta^{2}x^{2} }{ \alpha^{2} } \right )^{ 3/2 }$. Отметим, что для определения нормального ускорения можно использовать формулу $a_{n} = a \cos \phi$, где $\phi$ - угол между векторами $\vec{a}_{n}$ и $\vec{a}$.
Как следует из рис. $\cos \phi = \frac{v_{x} }{v}$, т.е. $\cos \phi = \frac{ \alpha }{ \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2}x^{2} } }$.
Используя $a_{n} = a \cos \phi$, получаем $a_{n} = \frac{ \alpha^{2} \beta }{ \sqrt{ \alpha^{2} + \beta^{2}x^{2} } }$, что совпадает ранее полученной формулой.
