Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14803
2021-01-30 
Две частицы (1 и 2) движутся со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ (рис.) по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент $t = 0$ они находились на расстояниях $l_{1}$ и $l_{2}$ от точки О. Через сколько времени расстояние между частицами станет минимальным? Чему оно равно?
Решение:
Начальное расстояние между частицами равно $l_{0} = \sqrt{l_{1}^{2} + l_{2}^{2} }$. Через промежуток времени $t$ частицы пройдут расстояние $v_{1}t$ и $v_{2}t$, и расстояние между частицами станет равным
$l(t) = \sqrt{ l_{1}^{2}(t) + l_{2}^{2}(t)} = \sqrt{(l_{1} - v_{1}t )^{2} + (l_{2} - v_{2}t )^{2}}$.
Минимальным расстояние между частицами будет тогда, когда подкоренное выражение минимально. Обозначим
$z = (l_{1} - v_{1}t )^{2} + (l_{2} - v_{2}t)^{2}$.
Исследуем функцию $z$ на экстремум
$\frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt} (l_{1}^{2} - 2l_{1}v_{1}t + v_{1}^{2}t^{2} + l_{1}^{2} - 2l_{2}v_{2}t + v_{2}^{2}t^{2} ) = - 2l_{1}v_{1} + 2v_{1}^{2}t - 2l_{2}v_{2} + 2v_{2}^{2}t = 0$,
$l_{1}v_{1} + l_{2}v_{2} = t(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} ), t_{z \: min} = \frac{l_{1}v_{1} + l_{2}v_{2} }{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} }$.
Тогда минимальное расстояние между частицами будет
$l_{min} = \sqrt{ \left ( l_{1} - v_{1} \frac{ l_{1}v_{1} + l_{2}v_{2} }{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } \right )^{2} + \left ( l_{2} - v_{2} \frac{l_{1}v_{1} + l_{2}v_{2} }{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } \right )^{2} } = \sqrt{ \frac{ (l_{1}v_{1}^{2} + l_{1}v_{2}^{2} - l_{1}v_{1}^{2} - l_{2}v_{1}v_{2} )^{2} }{(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} )^{2} } + \frac{ (l_{2}v_{1}^{2} + l_{2}v_{2}^{2} - l_{2}v_{2}^{2} - l_{1}v_{1}v_{2} )^{2} }{(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} )^{2} } } = \sqrt{ \frac{ v_{2}^{2} (l_{1}v_{2} - l_{2}v_{1} )^{2} + v_{1}^{2} (l_{2}v_{1} - l_{1}v_{2} )^{2} }{(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} )^{2} } } = \sqrt{ \frac{ (l_{1}v_{2} - l_{2}v_{1} )^{2} (v_{2}^{2} + v_{1}^{2} ) }{ (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} )^{2} } } = \frac{| (l_{1}v_{2} - l_{2}v_{1} ) |}{ \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } }$
Две частицы (1 и 2) движутся со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ (рис.) по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения О. В момент $t = 0$ они находились на расстояниях $l_{1}$ и $l_{2}$ от точки О. Через сколько времени расстояние между частицами станет минимальным? Чему оно равно?
Решение:
Начальное расстояние между частицами равно $l_{0} = \sqrt{l_{1}^{2} + l_{2}^{2} }$. Через промежуток времени $t$ частицы пройдут расстояние $v_{1}t$ и $v_{2}t$, и расстояние между частицами станет равным
$l(t) = \sqrt{ l_{1}^{2}(t) + l_{2}^{2}(t)} = \sqrt{(l_{1} - v_{1}t )^{2} + (l_{2} - v_{2}t )^{2}}$.
Минимальным расстояние между частицами будет тогда, когда подкоренное выражение минимально. Обозначим
$z = (l_{1} - v_{1}t )^{2} + (l_{2} - v_{2}t)^{2}$.
Исследуем функцию $z$ на экстремум
$\frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt} (l_{1}^{2} - 2l_{1}v_{1}t + v_{1}^{2}t^{2} + l_{1}^{2} - 2l_{2}v_{2}t + v_{2}^{2}t^{2} ) = - 2l_{1}v_{1} + 2v_{1}^{2}t - 2l_{2}v_{2} + 2v_{2}^{2}t = 0$,
$l_{1}v_{1} + l_{2}v_{2} = t(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} ), t_{z \: min} = \frac{l_{1}v_{1} + l_{2}v_{2} }{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} }$.
Тогда минимальное расстояние между частицами будет
$l_{min} = \sqrt{ \left ( l_{1} - v_{1} \frac{ l_{1}v_{1} + l_{2}v_{2} }{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } \right )^{2} + \left ( l_{2} - v_{2} \frac{l_{1}v_{1} + l_{2}v_{2} }{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } \right )^{2} } = \sqrt{ \frac{ (l_{1}v_{1}^{2} + l_{1}v_{2}^{2} - l_{1}v_{1}^{2} - l_{2}v_{1}v_{2} )^{2} }{(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} )^{2} } + \frac{ (l_{2}v_{1}^{2} + l_{2}v_{2}^{2} - l_{2}v_{2}^{2} - l_{1}v_{1}v_{2} )^{2} }{(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} )^{2} } } = \sqrt{ \frac{ v_{2}^{2} (l_{1}v_{2} - l_{2}v_{1} )^{2} + v_{1}^{2} (l_{2}v_{1} - l_{1}v_{2} )^{2} }{(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} )^{2} } } = \sqrt{ \frac{ (l_{1}v_{2} - l_{2}v_{1} )^{2} (v_{2}^{2} + v_{1}^{2} ) }{ (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} )^{2} } } = \frac{| (l_{1}v_{2} - l_{2}v_{1} ) |}{ \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } }$
