Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1480
2016-11-27 
Один моль газа участвует в процессе, график которого изображен на Р-V диаграмме. Кривые 1-4 и 2-3 — изотермы. Нарисуйте график этого процесса на Т-V диаграмме. Найдите объем $V_{3}$, если известны объемы $V_{1}, V_{2}$ и $V_{4}$.
Решение:
Точку 1 на Т-V диаграмме наносим произвольно. Чтобы изобразить участок 1-2, воспользуемся аналитической связью между $P$ и $V$, вытекающей из рисунка из условия задачи:
$P = \alpha_{1}V$, (1)
где $\alpha_{1}$ — некоторая постоянная. Кроме того, газ подчиняется уравнению Менделеева - Клапейрона:
$PV = RT$. (2)
Мы стремимся к тому, чтобы найти связь между $T$ и $V$. Подставляя $P$ из (1) в (2), находим:
$T = \frac{ \alpha_{1}}{R} V^{2}$. (3)
Таким образом, участок 1-2 в координатах Т-V является частью параболы (3), причем, чтобы нанести точку 2, необходимо пойти вверх по параболе (согласно рисунку условия задачи, объем на участке 1-2 возрастает). Точку 2 наносим, с учетом сказанного, произвольно.
Участок 2-3, согласно условию задачи, изотерма, график которой в координатах Т-V — прямая, параллельная оси $V$. Чтобы нанести точку 3, следует двигаться вправо от 2, так как объем на этом участке возрастает.
Построение участка 3-4 аналогично участку 1-2; связь между $T$ и $V$ имеет вид:
$T = \frac{ \alpha_{2}}{R} V^{2}$, (4)
причем для нанесения точки 4 следует идти вниз по параболе, так как объем на участке 3-4 уменьшается.
Участок 4-1 аналогичен участку 2-3.
Для ответа на второй вопрос задачи запишем уравнение (3) для состояний газа в точках 1 и 2:
$T_{1} = \frac{ \alpha_{1}}{R} V_{1}^{2}$ (5)
$T_{2} = \frac{ \alpha_{1}}{R} V_{2}^{2}$, (6)
а уравнение (4) для точек 3 и 4:
$T_{3} = \frac{ \alpha_{2}}{R} V_{3}^{2}$ (7)
$T_{4} = \frac{ \alpha_{2}}{R} V_{4}^{2}$ (8)
Учитывая, что $T_{1} = T_{4}$ и $T_{2} = T_{3}$, из (5-8) находим:
$V_{3} = \frac{V_{2}V_{4}}{V_{1}}$.
Полезно еще раз обратить внимание на прием, который использовался при построении графика процесса, известного в одних координатах, в других координатах. Для этого следует представить в аналитическом виде связь между параметрами газа на участке, которая вытекает из известного графика и, кроме того, воспользоваться уравнением Клапейрона, а затем с помощью двух полученных соотношений найти интересующую связь между двумя параметрами газа, соответствующими координатам искомого графика, исключив третий.
Один моль газа участвует в процессе, график которого изображен на Р-V диаграмме. Кривые 1-4 и 2-3 — изотермы. Нарисуйте график этого процесса на Т-V диаграмме. Найдите объем $V_{3}$, если известны объемы $V_{1}, V_{2}$ и $V_{4}$.
Решение:
Точку 1 на Т-V диаграмме наносим произвольно. Чтобы изобразить участок 1-2, воспользуемся аналитической связью между $P$ и $V$, вытекающей из рисунка из условия задачи:
$P = \alpha_{1}V$, (1)
где $\alpha_{1}$ — некоторая постоянная. Кроме того, газ подчиняется уравнению Менделеева - Клапейрона:
$PV = RT$. (2)
Мы стремимся к тому, чтобы найти связь между $T$ и $V$. Подставляя $P$ из (1) в (2), находим:
$T = \frac{ \alpha_{1}}{R} V^{2}$. (3)
Таким образом, участок 1-2 в координатах Т-V является частью параболы (3), причем, чтобы нанести точку 2, необходимо пойти вверх по параболе (согласно рисунку условия задачи, объем на участке 1-2 возрастает). Точку 2 наносим, с учетом сказанного, произвольно.
Участок 2-3, согласно условию задачи, изотерма, график которой в координатах Т-V — прямая, параллельная оси $V$. Чтобы нанести точку 3, следует двигаться вправо от 2, так как объем на этом участке возрастает.
Построение участка 3-4 аналогично участку 1-2; связь между $T$ и $V$ имеет вид:
$T = \frac{ \alpha_{2}}{R} V^{2}$, (4)
причем для нанесения точки 4 следует идти вниз по параболе, так как объем на участке 3-4 уменьшается.
Участок 4-1 аналогичен участку 2-3.
Для ответа на второй вопрос задачи запишем уравнение (3) для состояний газа в точках 1 и 2:
$T_{1} = \frac{ \alpha_{1}}{R} V_{1}^{2}$ (5)
$T_{2} = \frac{ \alpha_{1}}{R} V_{2}^{2}$, (6)
а уравнение (4) для точек 3 и 4:
$T_{3} = \frac{ \alpha_{2}}{R} V_{3}^{2}$ (7)
$T_{4} = \frac{ \alpha_{2}}{R} V_{4}^{2}$ (8)
Учитывая, что $T_{1} = T_{4}$ и $T_{2} = T_{3}$, из (5-8) находим:
$V_{3} = \frac{V_{2}V_{4}}{V_{1}}$.
Полезно еще раз обратить внимание на прием, который использовался при построении графика процесса, известного в одних координатах, в других координатах. Для этого следует представить в аналитическом виде связь между параметрами газа на участке, которая вытекает из известного графика и, кроме того, воспользоваться уравнением Клапейрона, а затем с помощью двух полученных соотношений найти интересующую связь между двумя параметрами газа, соответствующими координатам искомого графика, исключив третий.
