2021-01-10
Стержень массы $m$, длины $l$ и сечения $S$ тянут за один конец с ускорением $a$. Модуль Юнга материала стержня $E$. Колебаниями в стержне пренебречь. На сколько удлинится стержень?
Решение:
Возьмем сечение $A(x)$ стержня на расстоянии $x$ от его начала ($0 \leq x \leq l$) и определим $u(x)$ - перемещение этого сечения при движении с ускорением (см. рис.). Пусть $u(x)$ - нормальное напряжение в сечении $A(x)$.
Уравнение для центра масс части $OA(x)$ имеет вид:
$m(x) \cdot a = \sigma (x) \cdot S$. (1)
А для части $A(x)A(l)$:
$(m - m(x))a = - \sigma (x) \cdots S + F$, (2)
где $F$ - сила, движущая стержень с ускорением $a$. Для всего стержня имеем
$ma = F$. (3)
В принципе уравнения (2) и (3) лишние и достаточно лишь уравнения (1), из которого находим:
$\sigma(x) = \frac{m(x)}{S}a = \frac{mx}{lS}a$.
Далее, закон Гука дает:
$E \frac{u(x)}{S}a = \frac{mx}{lS}a$.
Далее, закон Гука дает:
$E \frac{u(x)}{x} = \sigma (x) = \frac{mx}{lS}a \Rightarrow u(x) = \frac{mx^{2} }{ElS} a, u(l) = \frac{ml^{2} }{ElS}a = \frac{ml}{ES}a$.
Это ошибочно (это верно в деформированной системе координат).
Это пример неверного решения!
Верное решение.
Уравнение для центра масс (1) мы должны записать так:
$m(x) \frac{ \ddot{x} }{2} = \sigma (x) \cdot S$.
Уравнение (2) так:
$[m - m(x)] \left [ \frac{ \ddot{x} }{2} \right ] = - \sigma(x) \cdot S + F$.
Уравнение (3) так: $ma = F$. $\ddot{x}$ нам не нужно, так что мы его исключаем:
$0 = \sigma \cdot S[m - m(x)] + \sigma S \cdot m(x) - ma \cdot m(x)$,
$\sigma (x) = \frac{am(x)}{S} = \frac{axm}{lS}$.
Разделим теперь стержень на маленькие кусочки
$\Delta x = \frac{l}{n}$ ($n \rightarrow \infty$).
Координата $k$-й точки
$x_{k} = \frac{kl}{n}$,
ее смещение в силу закона Гука:
$\Delta u_{k} = \left ( \frac{ \Delta x}{E} \right ) \sigma ( x_{k} ) = \frac{l}{Sn} \frac{m}{E} \frac{a}{l} x_{k} = \frac{ma}{SnE} \frac{kl}{n} = \frac{mal}{SE} \frac{k}{n^{2} }$.
Тогда общее смещение
$\Delta u = \sum_{k=1}^{n} \Delta u_{k} = \frac{mal}{SEn^{2} } \sum_{k = 1}^{n} k = \frac{mal}{SEn^{2} } \frac{(n + 1)n}{2} \underset{n \rightarrow \infty}{ \rightarrow} \Delta u = \frac{mal}{2SE}$
(это верный ответ).