2021-01-10
Однородный стержень длины $L$ и плотности $\rho$ поставлен вертикально на жесткую горизонтальную плоскость (см. рис.) предполагая жесткость стержня на растяжение равной $EJ$, определить две величины: $\Delta_{1}$ - смещение центра тяжести (т.е. центра стержня до деформации) после деформации; $\Delta_{2}$ - расстояние меходу центрами тяжести до и после деформации.
Решение:
Направим ось $x$ вертикально вверх, причем $x = 0$ соответствует нижнему концу стержня. Пусть $u(x)$ - смещение сечения $x$ после деформации. Выделим элемент стержня между $x$ и $x + dx$ (см. рис.). До деформации длина этого элемента равна $dx$, а после деформации
$dx_{1} = dx - u(x + dx) + u(x) \approx dx - \left ( \frac{du}{dx} \right )dx$.
Изменение длины этого элемента происходит в результате действия напряжения в сечении $x$, которое, очевидно, равно весу части стержня над сечением $x$. Согласно закону Гука (для сжатия, которое в данном случае происходит), получим:
$\left | \frac{dx - dx_{1} }{dx} \right | = \frac{1}{EJ} \rho g(L - x) \Rightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{EJ} \rho g(l - x)$.
Учитывая, что $u(0) = 0$, получим:
$u(x) = \rho g \frac{ lx - \frac{x^{2} }{2} }{EJ}$. (1)
Подставляя в формулу (1) $x = \frac{l}{2}$ (для центра тяжести), получим:
$\Delta_{1} = u \left ( \frac{l}{2} \right ) = \frac{3}{8} \frac{ \rho gl^{2} }{EJ}$. (2)
Теперь определим новое положение центра тяжести деформированного стержня в системе $Ox$. Новые (деформированные) координаты точек стержня суть $x - u(x)$. Считая плотность $\rho$ стержня по-прежнему равномерно распределенной, получим:
$x_{c}^{деф} = \frac{1}{ \rho gl} \int_{0}^{l} (x - u(x)) \rho g dx = \frac{1}{l } \int_{0}^{l} xdx - \frac{1}{l } \int_{0}^{l} u(x)dx = \frac{l}{2} - \frac{1}{l} \int_{0}^{l} u(x) dx$.
Отсюда, учитывая, что $\frac{l}{2}$ - координата центра тяжести до деформации, получим:
$\Delta_{2} = \frac{l}{2} - x_{c}^{деф} = \frac{1}{l} \int_{0}^{l} u(x) dx = \frac{ \rho g}{l \cdot EJ} \left ( l \cdot \frac{l^{2} }{2} - \frac{l^{3} }{6} \right ) = \frac{1}{3} \frac{ \rho gl^{2} }{E \tau }$. (3)
Отметим, что из (2) и (3) следует $\Delta_{2} < \Delta_{1}$. Расхождение получилось потому, что центр тяжести не является фиксированной точкой стержня в процессе деформации.