2021-01-10
Абсолютно жесткий брус веса $G$ подвешен на трех параллельных проволоках, как показано на рис. Расстояния между проволоками одинаковы. Сечения проволок одинаковы, но материалы различны и имеют модули Юнга: $E_{1}, E_{2}, E_{3}$. Определить усилия, возникающие в проволоках.
Решение:
После подвешивания бруса проволоки должны растянуться, причем так, что точки крепления будут оставаться на одной прямой (так как брус абсолютно жесткий). Деформированное состояние (в предположении $E_{1} \geq E_{2} \geq E_{3}$) показано на рис.. Геометрическое свойство трапеции дает соотношение:
$2 \cdot A_{2}A_{2}^{ \prime } = A_{1}A_{1}^{ \prime } + A_{3}A_{3}^{ \prime}$.
Обозначая $N_{1}, N_{2}, N_{3}$ натяжения в проволоках, в соответствии с законом Гука, получим:
$2 \frac{N_{2} }{E_{2} } = \frac{N_{1} }{E_{1} } + \frac{N_{3} }{E_{3} }$. (1)
Присоединяя уравнения статики, записанные для деформированного состояния (уравнение проекций на вертикаль и уравнение моментов относительно точки $A_{2}^{ \prime }$), получим:
$N_{1} + N_{2} + N_{3} = G, N_{1} = N_{3}$. (2)
Система (1), (2) легко решается:
$N_{1} = N_{3} = \frac{2E_{1}E_{3} }{4E_{1}E_{3} + E_{2}E_{3} + E_{1}E_{2} } G$, (3)
$N_{2} = \frac{E_{1}E_{2} + E_{2}E_{3} }{4E_{1}E_{3} + E_{2}E_{3} + E_{1}E_{2} } G$.
Ввиду важности этой задачи в методическом смысле, сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Пусть $E_{1} = E_{2} = E_{3} = E$. Тогда из (3) получаем
$N_{1} = N_{2} = N_{3} = \frac{G}{3}$,
т. е. натяжение нитей не зависит от модуля Юнга $E$. Тогда возникает соблазн распространить указанное решение и на абсолютно жесткие нити. Однако это некорректно по следующей причине. Уравнения (2) - это уравнения статики, которые не дают решения задачи. А уравнение (1) которое при $E_{1} = E_{2} = E_{3} = E$ вырождается в равенство $2N_{2} = N_{1} + N_{3}$, вытекает не из законов статики, а из рассмотрения деформаций системы (т. е. из кинематики процесса деформирования).
Замечание 2. Из уравнений (3) следует, что натяжения $N_{1}, N_{2}, N_{3}$ зависят лишь от отношений модулей $\frac{E_{1} }{E_{2} }, \frac{E_{2} }{E_{3} }, \frac{E_{1} }{E_{3} }$. Нетрудно понять, что этот факт следует также из теории размерностей.
Замечание 3. Отметим, что вопрос о том, что будет, если нити строго математически равны между собой и являются абсолютно жесткими, принципиально не разрешим и не должен ставитьсяю Действительно, любое, как угодно малое, изменение длины средней из нитей, приводит к резкому изменению натяжений (натяжение в этой нити будет равно либо 0, либо $G$).
Замечание 4. Задача становится корректной, если нити считать нерастяжимыми, но брус полагать деформируемым. Тогда задача превращается в классическую задачу об изгибе балки.