Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14794
2021-01-10 
Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы согнуть в кольцо стержень, имеющий квадратное сечение $a \times a$? Модуль Юнга материала $E$, длина стержня $l \gg a$.
Решение:
Идея решения достаточно проста: при сгибании стержня часть волокон его растягивается, а часть сжимается; кроме того, существует нейтральное волокно (линия), проходящее через центры симметрии сечений стержня (см. рис.).
Рассмотрим слой волокон, находящийся на расстоянии $x$ от нейтрали и заполняющий сечение $x \leq \xi \leq x + \Delta x; - \frac{a}{2} \leq \eta \leq \frac{a}{2}$ ($ \xi$ - радиальная координата, $\eta$ - координата, перпендикулярная к рисунку). Волокна этого слоя претерпели удлинение
$\delta \xi = 2 \pi (R + x) - l = 2 \pi x$ (учтено, что $2 \pi R = l$).
Относительное удлинение
$\varepsilon (x) = \frac{1}{l} \delta \xi = \frac{2 \pi }{l}x$.
Используя предыдущую задачу, получим энергию слоя:
$\delta E(x) = E \frac{ \varepsilon^{2}(x) }{2} \delta V(x)$,
где $\delta V(x) = a \cdot \Delta x \cdot 2 \pi(R + x)$ - объем слоя. Или так:
$\delta E(x) = \frac{E}{2} \frac{4 \pi^{2} }{l^{2} } x^{2} a dx \cdot (l + 2 \pi x) = \frac{E}{2} \frac{4 \pi^{2} }{l^{2} } a (lx^{2} + 2 \pi x^{3} )dx$;
полная энергия
$E = \int_{- \frac{a}{2} }^{ \frac{a}{2} } \delta E(x) = \frac{E}{2} \frac{4 \pi^{2} }{l^{2} } al \frac{1}{3}2 \frac{a^{3} }{8} = \frac{E \pi^{2}a^{4} }{6l}$.
Аналогично и для круглого сечения.
Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы согнуть в кольцо стержень, имеющий квадратное сечение $a \times a$? Модуль Юнга материала $E$, длина стержня $l \gg a$.
Решение:
Идея решения достаточно проста: при сгибании стержня часть волокон его растягивается, а часть сжимается; кроме того, существует нейтральное волокно (линия), проходящее через центры симметрии сечений стержня (см. рис.).
Рассмотрим слой волокон, находящийся на расстоянии $x$ от нейтрали и заполняющий сечение $x \leq \xi \leq x + \Delta x; - \frac{a}{2} \leq \eta \leq \frac{a}{2}$ ($ \xi$ - радиальная координата, $\eta$ - координата, перпендикулярная к рисунку). Волокна этого слоя претерпели удлинение
$\delta \xi = 2 \pi (R + x) - l = 2 \pi x$ (учтено, что $2 \pi R = l$).
Относительное удлинение
$\varepsilon (x) = \frac{1}{l} \delta \xi = \frac{2 \pi }{l}x$.
Используя предыдущую задачу, получим энергию слоя:
$\delta E(x) = E \frac{ \varepsilon^{2}(x) }{2} \delta V(x)$,
где $\delta V(x) = a \cdot \Delta x \cdot 2 \pi(R + x)$ - объем слоя. Или так:
$\delta E(x) = \frac{E}{2} \frac{4 \pi^{2} }{l^{2} } x^{2} a dx \cdot (l + 2 \pi x) = \frac{E}{2} \frac{4 \pi^{2} }{l^{2} } a (lx^{2} + 2 \pi x^{3} )dx$;
полная энергия
$E = \int_{- \frac{a}{2} }^{ \frac{a}{2} } \delta E(x) = \frac{E}{2} \frac{4 \pi^{2} }{l^{2} } al \frac{1}{3}2 \frac{a^{3} }{8} = \frac{E \pi^{2}a^{4} }{6l}$.
Аналогично и для круглого сечения.
