2021-01-10
Стержень поперечного сечения $S$ растягивается силой $\vec{F}$, параллельной его оси (см. рис.). Под каким углом $\alpha$ к оси наклонено сечение, в котором тангенциальное напряжение $\tau$ максимально? Найти это напряжение.
Решение:
Пусть эта площадка перпендикулярна плоскости $zy$ и имеет вектор нормали
$\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ \sin \alpha \\ - \cos \alpha \end{pmatrix}$
В предположении равновесия, тензор напряжений $\sigma$ везде постоянен в теле и совпадает с тензором на торце, где приложена сила $\vec{F}$, и поэтому
$\vec{ \sigma }_{x} = 0, \vec{ \sigma}_{z} = 0$, а вот $\vec{ \sigma }_{y} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{F}{S} \\ 0 \end{pmatrix}$.
(Вспомним определение: $\vec{ \sigma }_{x}$ - напряжение, приложенное к площадке с нормалью, параллельной оси $x$, и т. д.) Согласно основной формуле Коши, имеем:
$\vec{ \sigma}_{n} = \vec{ \sigma }_{x} n_{x} + \vec{ \sigma }_{y} n_{y} + \vec{ \sigma }_{z} n_{z} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{F}{S} \sin \alpha \\ 0 \end{pmatrix}$.
Таким образом, напряжение, приложенное к рассматриваемой площадке, направлено по оси $y$ и равно $\frac{F}{S} \sin \alpha$. По определению, касательное напряжение $\tau$ есть проекция $\vec{ \sigma }_{n}$ на саму площадку, т. е.
$\tau = \frac{F}{S} \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{F}{2S} \sin \alpha$.
Это выражение максимально при $\alpha = \frac{ \pi }{4}$ и равно $\tau_{max} = \frac{F}{2S}$.
Более элементарно решение.
$T = F$, площадь сечения равна $\frac{S}{ \sin \alpha }$, и так как $T$ равномерно распределена на $\frac{S}{ \sin \alpha }$,
$\tau = \frac{T \cos \alpha }{ \frac{S}{ \sin \alpha } } = \frac{T}{S} \sin \alpha \cdot \cos \alpha$ и т. д.