Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14791
2021-01-10 
Однородный обруч массы $M$, на который намотана невесомая нить с точечной массой $m$ на конце (см. рис.) поставлены на шероховатую горизонтальную прямую с коэффициентом трения скольжения $k$ (трение качения отсутствует), причем так, что нить висит вертикально. Покатится он или заскользит?
Решение:
Пусть $r$ - радиус обруча. Положение системы вполне определяется тремя параметрами: $\phi$ - угол собственного поворота обруча, отсчитываемый против часовой стрелки, $x$ - горизонтальное смещение центра масс С обруча, $\alpha$ - угол отклонения прямолинейного участка нити от вертикали, который также отсчитывается против часовой стрелки (см. рис.).
Введем еще для удобства параметр $s$ - длина прямолинейного участка нити АВ. Мы предполагаем, что в начальный момент:
$x(0) = \dot{x}(0) = \alpha(0) = \dot{ \alpha}(0) = \phi (0) = \dot{ \phi} (0)$, (1)
$s(0) = s_{0}, \dot{s}(0) = 0$.
Из геометрических соображений ясно, что отклонение нити на угол $\alpha$ от вертикали увеличивает длину ее прямолинейного участка на $r \alpha$ (см. рис.), а поворот обруча на угол $\phi$ (против часовой стрелки) приводит к уменьшению этой длины на $r \phi$. Отсюда следует кинематическая связь:
$s = s_{0} + r \alpha - r \phi$. (2)
Введем неподвижную систему координат $C_{0}xy$, с началом в точке $C_{0}$ (исходное положение центра обруча), ось $x$ - по горизонтали влево, $y$ - по вертикали вверх. Тогда координаты точки А суть следующие:
$\begin{cases} x_{A} = x - r \cos \alpha - s \cdot \sin \alpha, \\ y_{A} = r \sin \alpha - s \cdot \cos \alpha, \end{cases}$ (3)
где $x$ - текущая координата центра обруча по оси $x$.
Далее, пусть $F$ - натяжение нити, $R_{x}, R_{y}$ - реакции в точке касания Р обруча с плоскостью. Запишем уравнения динамики для центра масс и кинетического момента относительно центра масс для обруча:
$\begin{cases} M \ddot{x} = R_{x} - F \sin \alpha, \\ 0 = R_{y} - Mg - F \cos \alpha, \\ Mr^{2} \cdot \ddot{ \phi } = - R_{z} \cdot r - Fr. \end{cases}$ (4)
Далее запишем уравнения Ньютона для груза А:
$m \ddot{x}_{A} = F \sin \alpha, m \ddot{y}_{A} = F \cos \alpha - mg$. (5)
Подставим в (5) соотношения (3) и в полученных равенствах положим выполненными соотношения (1) (т. е. мы рассматриваем движение сразу же после момента $t = 0$).
Тогда получим уравнения:
$m( \ddot{x} - s_{0} \ddot{ \alpha } ) = 0, m( r \ddot{ \alpha } - \ddot{s} ) = F - mg$. (6)
Теперь используем связь (2), которую предварительно продифференцируем дважды по $t$:
$\ddot{s} = r \ddot{ \alpha} - r \ddot{ \phi }$.
В результате получим соотношения:
$\ddot{x} = s_{0} \ddot{ \alpha}, m r \ddot{ \phi } = F - mg$, (7)
Далее из (4) при $\alpha = 0$, имеем:
$M \ddot{x} = R_{x}, R_{y} = F + Mg, R_{x} = - Mr \ddot{ \phi } - F$. (8)
Условие непроскальзывания: $r \ddot{ \phi } = \ddot{x}$.
Пусть это условия выполнено. Найдем соответствующие значения $R_{x},R_{y}$. Имеем из (7) и (8):
$m \ddot{x} = F - mg, M \ddot{x} = - M \ddot{x} - F$.
Складывая эти уравнения, получим:
$\ddot{x} = - \frac{mg}{m + 2M}, R_{x} = - \frac{Mmg}{m + 2M}$,
$F = \frac{2Mmg}{m + 2M}, R_{y} = Mg \frac{3m + 2M}{m + 2M}$.
Тогда, чтобы силы трения «хватило» для непроскальзывания, необходимо выполнения неравенства
$k \geq \left | \frac{R_{x} }{R_{y} } \right | = \frac{m}{3m + 2M}$.
Ежели это условие не выполнено, т. е. $k < \frac{m}{3m + 2M}$, то обязательно будет скольжение обруча. Доказательство этого факта здесь не приводится.
Замечание 1. Если масса $m$ жестко прикреплена к обручу в крайнем положении (несбалансированное колесо), то условие непроскальзывания таково:
$k \geq \frac{m^{2} + Mm }{m^{2} + M(2M + 4m) }$.
Это условие нетрудно получить, заменяя действие массы $m$ на обруч двумя силами $N_{x}$ и $N_{y}$ и записывая уравнения динамики для обруча и массы аналогично вышеприведенному решению.
Замечание 2. Если просто прикладывать силу $\vec{F} = m \vec{g}$ в крайней точке горизонтального диаметра обруча, то условие непроскальзывания такое:
$k \geq \frac{m}{2M + 2m}$.
Этот результат получается просто из записи трех уравнений динамики для обруча.
Замечание 3. В книге Павленко Ю. Г. Задачи по теоретической механике. М.: Физматлит, 2003. 534 с. (см. с. 268) подобная задача рассмотрена при помощи уравнений Лагранжа II-го рода, записанных для двух степеней свободы $\phi$ и $\alpha$. Найдено частное решение, при котором $\alpha = \alpha_{0} = const$, $\phi(t) = at^{2}$, где $a = const$, зависящая от $\alpha_{0}$, причем $\alpha_{0}$ удовлетворяет соотношению, зависящему от параметров системы.
Однородный обруч массы $M$, на который намотана невесомая нить с точечной массой $m$ на конце (см. рис.) поставлены на шероховатую горизонтальную прямую с коэффициентом трения скольжения $k$ (трение качения отсутствует), причем так, что нить висит вертикально. Покатится он или заскользит?
Решение:
Пусть $r$ - радиус обруча. Положение системы вполне определяется тремя параметрами: $\phi$ - угол собственного поворота обруча, отсчитываемый против часовой стрелки, $x$ - горизонтальное смещение центра масс С обруча, $\alpha$ - угол отклонения прямолинейного участка нити от вертикали, который также отсчитывается против часовой стрелки (см. рис.).
Введем еще для удобства параметр $s$ - длина прямолинейного участка нити АВ. Мы предполагаем, что в начальный момент:
$x(0) = \dot{x}(0) = \alpha(0) = \dot{ \alpha}(0) = \phi (0) = \dot{ \phi} (0)$, (1)
$s(0) = s_{0}, \dot{s}(0) = 0$.
Из геометрических соображений ясно, что отклонение нити на угол $\alpha$ от вертикали увеличивает длину ее прямолинейного участка на $r \alpha$ (см. рис.), а поворот обруча на угол $\phi$ (против часовой стрелки) приводит к уменьшению этой длины на $r \phi$. Отсюда следует кинематическая связь:
$s = s_{0} + r \alpha - r \phi$. (2)
Введем неподвижную систему координат $C_{0}xy$, с началом в точке $C_{0}$ (исходное положение центра обруча), ось $x$ - по горизонтали влево, $y$ - по вертикали вверх. Тогда координаты точки А суть следующие:
$\begin{cases} x_{A} = x - r \cos \alpha - s \cdot \sin \alpha, \\ y_{A} = r \sin \alpha - s \cdot \cos \alpha, \end{cases}$ (3)
где $x$ - текущая координата центра обруча по оси $x$.
Далее, пусть $F$ - натяжение нити, $R_{x}, R_{y}$ - реакции в точке касания Р обруча с плоскостью. Запишем уравнения динамики для центра масс и кинетического момента относительно центра масс для обруча:
$\begin{cases} M \ddot{x} = R_{x} - F \sin \alpha, \\ 0 = R_{y} - Mg - F \cos \alpha, \\ Mr^{2} \cdot \ddot{ \phi } = - R_{z} \cdot r - Fr. \end{cases}$ (4)
Далее запишем уравнения Ньютона для груза А:
$m \ddot{x}_{A} = F \sin \alpha, m \ddot{y}_{A} = F \cos \alpha - mg$. (5)
Подставим в (5) соотношения (3) и в полученных равенствах положим выполненными соотношения (1) (т. е. мы рассматриваем движение сразу же после момента $t = 0$).
Тогда получим уравнения:
$m( \ddot{x} - s_{0} \ddot{ \alpha } ) = 0, m( r \ddot{ \alpha } - \ddot{s} ) = F - mg$. (6)
Теперь используем связь (2), которую предварительно продифференцируем дважды по $t$:
$\ddot{s} = r \ddot{ \alpha} - r \ddot{ \phi }$.
В результате получим соотношения:
$\ddot{x} = s_{0} \ddot{ \alpha}, m r \ddot{ \phi } = F - mg$, (7)
Далее из (4) при $\alpha = 0$, имеем:
$M \ddot{x} = R_{x}, R_{y} = F + Mg, R_{x} = - Mr \ddot{ \phi } - F$. (8)
Условие непроскальзывания: $r \ddot{ \phi } = \ddot{x}$.
Пусть это условия выполнено. Найдем соответствующие значения $R_{x},R_{y}$. Имеем из (7) и (8):
$m \ddot{x} = F - mg, M \ddot{x} = - M \ddot{x} - F$.
Складывая эти уравнения, получим:
$\ddot{x} = - \frac{mg}{m + 2M}, R_{x} = - \frac{Mmg}{m + 2M}$,
$F = \frac{2Mmg}{m + 2M}, R_{y} = Mg \frac{3m + 2M}{m + 2M}$.
Тогда, чтобы силы трения «хватило» для непроскальзывания, необходимо выполнения неравенства
$k \geq \left | \frac{R_{x} }{R_{y} } \right | = \frac{m}{3m + 2M}$.
Ежели это условие не выполнено, т. е. $k < \frac{m}{3m + 2M}$, то обязательно будет скольжение обруча. Доказательство этого факта здесь не приводится.
Замечание 1. Если масса $m$ жестко прикреплена к обручу в крайнем положении (несбалансированное колесо), то условие непроскальзывания таково:
$k \geq \frac{m^{2} + Mm }{m^{2} + M(2M + 4m) }$.
Это условие нетрудно получить, заменяя действие массы $m$ на обруч двумя силами $N_{x}$ и $N_{y}$ и записывая уравнения динамики для обруча и массы аналогично вышеприведенному решению.
Замечание 2. Если просто прикладывать силу $\vec{F} = m \vec{g}$ в крайней точке горизонтального диаметра обруча, то условие непроскальзывания такое:
$k \geq \frac{m}{2M + 2m}$.
Этот результат получается просто из записи трех уравнений динамики для обруча.
Замечание 3. В книге Павленко Ю. Г. Задачи по теоретической механике. М.: Физматлит, 2003. 534 с. (см. с. 268) подобная задача рассмотрена при помощи уравнений Лагранжа II-го рода, записанных для двух степеней свободы $\phi$ и $\alpha$. Найдено частное решение, при котором $\alpha = \alpha_{0} = const$, $\phi(t) = at^{2}$, где $a = const$, зависящая от $\alpha_{0}$, причем $\alpha_{0}$ удовлетворяет соотношению, зависящему от параметров системы.
