Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14790
2021-01-10 
В воде покоится лодка. Человек, находящийся на ней, переходит с кормы на нос. На сколько переместится лодка, если сила сопротивления при ее движении пропорциональна ее скорости.
Решение:
Приведем элегантное, но не очень строгое решение. На человека со стороны лодки действует сила $\vec{F}$ (по горизонтали), т. е. $F = \frac{ \Delta (mv) }{ \Delta t}$, где $m, v$ - масса и абсолютная скорость человека (по горизонтали). Такая же сила, но противоположно направленная, действует на лодку, кроме того, на лодку действует еще и сила сопротивления, т. е.
$- F - ku = \frac{ \Delta (Mu) }{ \Delta t}$,
где $M, u$ - масса и абсолютная скорость лодки (по горизонтали), $k = const > 0$ - коэффициент пропорциональности. Складывая полученные уравнения, имеем:
$- ku \cdot \Delta t = m \Delta v + M \Delta u$.
Далее, так как все начинается с покоя, а в конце концов лодка и человек остановятся (здесь, возможно, заключается нестрогость!), то $\Delta (Mu) = 0, \Delta (mv) = 0$ и тогда $u \Delta t = 0$ (вообще-то, наверное, подразумевается $\int u \Delta t$), т. е. лодка, в конечном итоге, не перемещается. (т. е. возвратится на место).
Приведем более строгое (в математическом смысле) решение. Используя, те же обозначения, получим из теоремы об изменении количества движения системы «человек + лодка»:
$M \dot{u} + m \dot{v} = - ku, v = u + w$,
здесь $w$ - относительная (в системе лодки) скорость человека. Интегрируя полученное уравнение при $u(0) = v(0) = 0$, имеем:
$Mu = - m(u + w) - kx$,
где $x = \int_{0}^{t} u( \tau )d \tau$ - абсолютная координата лодки. Таким образом, имеем уравнение:
$(M + m) \dot{x} + kx = - mw$.
Из математического анализа известно, что общее решение такого уравнения дается формулой:
$x(t) = C_{0}e^{ - \alpha t} - ae^{ - \alpha t } \int_{0}^{t} e^{ \alpha \tau } w( \tau ) d \tau$,
где $C_{0} = const, \lambda = \frac{k}{M + m}, a = \frac{m}{M + m}$. Предполагая в начальный момент $x(0) = 0$, получим $C_{0} = 0$, т. е. решение имеет вид:
$x(t) = - ae^{ - \alpha t} \int_{0}^{t} e^{ \lambda \tau }w( \tau ) d \tau$. (1)
К этому уравнению необходимо присоединить условия:
$0 \leq \int_{0}^{t} w( \tau) d \tau \leq L, |w| \leq w_{0}$, (2)
$lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} w( \tau ) d \tau = L$. (3)
Условия (2) означают, что перемещение человека и его скорость ограничены, а условие (3) - то, что человек, в конце концов (т. е. при $t \rightarrow \infty$) очутится на носу лодки (т. е. пройдет расстояние $L$, где $L$ - длина лодки). Если человек достигает носа лодки за конечное время $t_{1}$, (и больше уже не двигается), то из (1) имеем:
$lim_{t \rightarrow \infty } x(t) = -a \lim_{t \rightarrow \infty } \left [ e^{- \alpha t } \int_{0}^{t_{1} } e^{ \lambda t } w( \tau ) d \tau \right ] = 0$.
Если же человек осуществляет движение к носу за бесконечно большое время (т. е. при $t \rightarrow \infty$), то здесь могут быть две ситуации:
1. $lim_{t \rightarrow \infty } w( \tau ) = 0$. Тогда, применяя к (I) правило Лопиталя получим:
$lim_{ t \rightarrow \infty } x(t) = lim_{ t \rightarrow \infty } \frac{e^{ \lambda t} w(t) }{e^{ \lambda t} } = 0$.
2. $lim_{ t \rightarrow \infty } w( \tau ) \neq 0$ (человек перемешается к носу импульсами, общая длительность которых конечна на бесконечном интервале времени).
Совершим в (1) интегрирование по частям, вводя новую функцию
$\phi(t, \tau ) = \int_{ \tau }^{ t} w( \tau ) d \tau$.
Тогда получим
$x(t) = - a \left [ e^{ - \lambda t} \phi(t,0) + \lambda \int_{0}^{t} e^{- \lambda (t - \tau ) } \cdot \phi(t, \tau) d \tau \right ]$.
Ясно, что в силу условия (2) первое слагаемое в правой части стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$. Покажем, что и второе слагаемое стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$. Действительно, в силу (3) имеем, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $T( \varepsilon )$, что $| \phi (t, \tau )| \leq \varepsilon$ для всех $t, \tau > T( \epsilon )$. Тогда при $t \geq 2T( \varepsilon )$ имеем:
$\left | \int_{ 0 }^{t} e^{ - \lambda ( t - \tau ) } \phi(t, \tau) d \tau \right | \leq \left | \int_{ 0 }^{ \frac{t}{2}} e^{ - \lambda ( t - \tau ) } \phi(t, \tau) d \tau \right | + \left | \int_{ \frac{t}{2} }^{t} e^{ - \lambda ( t - \tau ) } \phi(t, \tau) d \tau \right | \leq L \int_{0}^{ \frac{t}{2} } e^{ - \lambda (t - \tau ) } d \tau + \varepsilon \int_{ \frac{t}{2} }^{t} e^{- \lambda (t - \tau ) } d \tau = L \frac{ e^{- \lambda \frac{t}{2} } - e^{- \lambda t} }{ \lambda } + \varepsilon \frac{1 - e^{- \lambda \frac{t}{2} } }{ \lambda }$.
Ясно, что последнее выражение при достаточно больших $t$ может быть сделано сколь угодно малым! Это и означает, что $lim_{t \rightarrow \infty } x(t) = 0$.
Отметим также следующий факт. Если закон сопротивления воды является квадратичным по скорости, то можно показать, что лодка уйдет бесконечно далеко, причем скорость ее будет асимптотически стремиться к нулю. Доказательство этого факта здесь не приводится. Этот результат показывает, что на малых скоростях справедлив закон сопротивления почти линейный по скорости (например, известная формула Стокса для шара в вязкой среде).
В воде покоится лодка. Человек, находящийся на ней, переходит с кормы на нос. На сколько переместится лодка, если сила сопротивления при ее движении пропорциональна ее скорости.
Решение:
Приведем элегантное, но не очень строгое решение. На человека со стороны лодки действует сила $\vec{F}$ (по горизонтали), т. е. $F = \frac{ \Delta (mv) }{ \Delta t}$, где $m, v$ - масса и абсолютная скорость человека (по горизонтали). Такая же сила, но противоположно направленная, действует на лодку, кроме того, на лодку действует еще и сила сопротивления, т. е.
$- F - ku = \frac{ \Delta (Mu) }{ \Delta t}$,
где $M, u$ - масса и абсолютная скорость лодки (по горизонтали), $k = const > 0$ - коэффициент пропорциональности. Складывая полученные уравнения, имеем:
$- ku \cdot \Delta t = m \Delta v + M \Delta u$.
Далее, так как все начинается с покоя, а в конце концов лодка и человек остановятся (здесь, возможно, заключается нестрогость!), то $\Delta (Mu) = 0, \Delta (mv) = 0$ и тогда $u \Delta t = 0$ (вообще-то, наверное, подразумевается $\int u \Delta t$), т. е. лодка, в конечном итоге, не перемещается. (т. е. возвратится на место).
Приведем более строгое (в математическом смысле) решение. Используя, те же обозначения, получим из теоремы об изменении количества движения системы «человек + лодка»:
$M \dot{u} + m \dot{v} = - ku, v = u + w$,
здесь $w$ - относительная (в системе лодки) скорость человека. Интегрируя полученное уравнение при $u(0) = v(0) = 0$, имеем:
$Mu = - m(u + w) - kx$,
где $x = \int_{0}^{t} u( \tau )d \tau$ - абсолютная координата лодки. Таким образом, имеем уравнение:
$(M + m) \dot{x} + kx = - mw$.
Из математического анализа известно, что общее решение такого уравнения дается формулой:
$x(t) = C_{0}e^{ - \alpha t} - ae^{ - \alpha t } \int_{0}^{t} e^{ \alpha \tau } w( \tau ) d \tau$,
где $C_{0} = const, \lambda = \frac{k}{M + m}, a = \frac{m}{M + m}$. Предполагая в начальный момент $x(0) = 0$, получим $C_{0} = 0$, т. е. решение имеет вид:
$x(t) = - ae^{ - \alpha t} \int_{0}^{t} e^{ \lambda \tau }w( \tau ) d \tau$. (1)
К этому уравнению необходимо присоединить условия:
$0 \leq \int_{0}^{t} w( \tau) d \tau \leq L, |w| \leq w_{0}$, (2)
$lim_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} w( \tau ) d \tau = L$. (3)
Условия (2) означают, что перемещение человека и его скорость ограничены, а условие (3) - то, что человек, в конце концов (т. е. при $t \rightarrow \infty$) очутится на носу лодки (т. е. пройдет расстояние $L$, где $L$ - длина лодки). Если человек достигает носа лодки за конечное время $t_{1}$, (и больше уже не двигается), то из (1) имеем:
$lim_{t \rightarrow \infty } x(t) = -a \lim_{t \rightarrow \infty } \left [ e^{- \alpha t } \int_{0}^{t_{1} } e^{ \lambda t } w( \tau ) d \tau \right ] = 0$.
Если же человек осуществляет движение к носу за бесконечно большое время (т. е. при $t \rightarrow \infty$), то здесь могут быть две ситуации:
1. $lim_{t \rightarrow \infty } w( \tau ) = 0$. Тогда, применяя к (I) правило Лопиталя получим:
$lim_{ t \rightarrow \infty } x(t) = lim_{ t \rightarrow \infty } \frac{e^{ \lambda t} w(t) }{e^{ \lambda t} } = 0$.
2. $lim_{ t \rightarrow \infty } w( \tau ) \neq 0$ (человек перемешается к носу импульсами, общая длительность которых конечна на бесконечном интервале времени).
Совершим в (1) интегрирование по частям, вводя новую функцию
$\phi(t, \tau ) = \int_{ \tau }^{ t} w( \tau ) d \tau$.
Тогда получим
$x(t) = - a \left [ e^{ - \lambda t} \phi(t,0) + \lambda \int_{0}^{t} e^{- \lambda (t - \tau ) } \cdot \phi(t, \tau) d \tau \right ]$.
Ясно, что в силу условия (2) первое слагаемое в правой части стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$. Покажем, что и второе слагаемое стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$. Действительно, в силу (3) имеем, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $T( \varepsilon )$, что $| \phi (t, \tau )| \leq \varepsilon$ для всех $t, \tau > T( \epsilon )$. Тогда при $t \geq 2T( \varepsilon )$ имеем:
$\left | \int_{ 0 }^{t} e^{ - \lambda ( t - \tau ) } \phi(t, \tau) d \tau \right | \leq \left | \int_{ 0 }^{ \frac{t}{2}} e^{ - \lambda ( t - \tau ) } \phi(t, \tau) d \tau \right | + \left | \int_{ \frac{t}{2} }^{t} e^{ - \lambda ( t - \tau ) } \phi(t, \tau) d \tau \right | \leq L \int_{0}^{ \frac{t}{2} } e^{ - \lambda (t - \tau ) } d \tau + \varepsilon \int_{ \frac{t}{2} }^{t} e^{- \lambda (t - \tau ) } d \tau = L \frac{ e^{- \lambda \frac{t}{2} } - e^{- \lambda t} }{ \lambda } + \varepsilon \frac{1 - e^{- \lambda \frac{t}{2} } }{ \lambda }$.
Ясно, что последнее выражение при достаточно больших $t$ может быть сделано сколь угодно малым! Это и означает, что $lim_{t \rightarrow \infty } x(t) = 0$.
Отметим также следующий факт. Если закон сопротивления воды является квадратичным по скорости, то можно показать, что лодка уйдет бесконечно далеко, причем скорость ее будет асимптотически стремиться к нулю. Доказательство этого факта здесь не приводится. Этот результат показывает, что на малых скоростях справедлив закон сопротивления почти линейный по скорости (например, известная формула Стокса для шара в вязкой среде).
