ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-11-27   
В вертикально расположенном цилиндре сечения $S$ под поршнем массы $M$ находится воздух. На поршне лежит груз. Определить массу этого груза, если известно, что после того, как его убрали, объем газа под поршнем вдвое возрос, а температура вдвое уменьшилась. Атмосферное давление $P_{0}$.


Решение:


Наряду с использованием уравнения Менделеева - Клапейрона для начального и конечного состояний системы:

$P_{1}V_{1} = \nu RT_{1}$ (1)
$P_{2}V_{2} = \nu RT_{2}$, (2)

воспользуемся основным уравнением динамики (законом Ньютона) для поршня с грузом в первом случае и для поршня во втором (условие равновесия):

$P_{1}S = (M+m)g + P_{0}S$, (3)

где $P_{1}S$ — сила, действующая со стороны воздуха под поршнем и направленная вверх, $(M + m)g$ — сила тяжести и $P_{0}S$ — сила атмосферного давления, направленные вниз;

$P_{2}S = Mg + P_{0}S$, (4)

где $P_{2}S$ — сила давления на поршень в конечном состоянии.

Отметим, что при записи (3) мы рассматривали поршень и груз как единое тело и величина силы атмосферного давления на поршень с грузом не зависит от формы груза (см. задачу 1444).

Из текста условия задачи следует:

$\frac{V_{2}}{V_{1}} = 2$ (5)
$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{1}{2}$. (6)

Полученная система уравнений (1—6) исчерпывает информацию, содержащуюся в условии задачи.

Поделим уравнение (2) на (1), а также (4) на (3). Получаем:

$\frac{P_{2}V_{2}}{P_{1}V_{1}} = \frac{T_{2}}{T_{1}}$
$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{\frac{mg}{S} + P_{0}}{ \frac{M+m}{S} g + P_{0}}$.

Отсюда с учетом (5) и (6) имеем:

$\frac{mg + P_{0}S}{(M+m)g + P_{0}S} = \frac{1}{4}$,

или, окончательно:

$m = 3M + \frac{3P_{0}S}{g}$.

Заметим, что вместо (1,2) можно было воспользоваться уравнением Клапейрона:

$\frac{P_{1}V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2}V_{2}}{T_{2}}$.